Производственная функция

Производственная функция - понятие и виды. Классификация и особенности категории "Производственная функция" 2017, 2018.

Производственными функциями называются экономико-математические модели, связывающие переменные величины затрат с величинами выпуска. Понятия "затраты" и "выпуск" имеют отношение, как правило, к процессу производства продукции; это объясняет происхождение названия данного типа моделей. Если рассматривается экономика региона или страны в целом, то разрабатываются агрегированные производственные функции, в которых выпуском служит показатель совокупного общественного продукта. Частными случаями производственных функций являются функции выпуска (зависимость объема производства от наличия или потребления ресурсов), функции издержек (связь объема продукции и издержек производства), функции капитальных затрат (зависимость капитальных вложений от производственной мощности создаваемых предприятий) и др.

Широко используются мультипликативные формы представления производственных функций. В самом общем виде мультипликативная производственная функция записывается следующим образом:

Здесь коэффициент А определяет размерность величин и зависит от избранных единиц измерения затрат и выпуска. Сомножители X i представляют влияющие факторы и могут иметь различное экономическое содержание в зависимости от того, какие факторы влияют на величину выпуска Р. Степенные параметры α, β, ..., γ показывают ту долю в приросте конечного продукта, которую вносит каждый из факторов-сомножителей; они называются коэффициентами эластичности производства относительно затрат соответствующего ресурса и показывают, на сколько процентов возрастает выпуск при увеличении затрат данного ресурса на один процент.

Сумма коэффициентов эластичности имеет важное значение для характеристики свойств производственной функции. Предположим, что затраты всех видов ресурсов возрастают в k раз. Тогда величина выпуска в соответствии с (7.16) составит

Следовательно, если , то при увеличении затрат в к раз выпуск возрастает также в k раз; производственная функция в этом случае является линейно однородной. При Е > 1 такое же увеличение затрат приведет к росту выпуска более чем в к раз, а при Е < 1 – менее чем в к раз (так называемый эффект масштаба).

В качестве примера мультипликативных производственных функций можно привести широко известную производственную функцию Кобба – Дугласа:

N – национальный доход;

А – коэффициент размерности;

L, К – объемы приложенного труда и основного капитала соответственно;

α и β – коэффициенты эластичности национального дохода но труду L и капиталу К.

Эта функция применялась американскими исследователями при анализе развития экономики США в 30-х годах прошлого века.

Эффективность использования ресурсов характеризуется двумя основными показателями: средняя (абсолютная ) эффективность ресурса

и предельная эффективность ресурса

Экономический смысл величины μi очевиден; в зависимости от типа ресурса она характеризует такие показатели, как производительность труда, фондоотдача и др. Величина v i показывает предельный прирост выпуска продукта при увеличении затрат i-го ресурса на "малую единицу" (на 1 руб., на 1 нормо-час и т.д.).

Множество точек n -мерного пространства факторов производства (ресурсов), удовлетворяющих условию постоянства выпуска Р (Х ) = С, называется изоквантой. Важнейшими свойствами изоквант являются следующие: изокванты не пересекаются друг с другом; большей величине выпуска соответствует более удаленная от начала координат изокванта; если все ресурсы абсолютно необходимы для производства, то изокванты не имеют общих точек с координатными гиперплоскостями и с осями координат.

В материальном производстве большое значение приобретает понятие взаимозаменяемости ресурсов. В теории производственных функций возможности замещения ресурсов характеризуют производственную функцию с точки зрения различных комбинаций затрат ресурсов, приводящих к одному и тому же уровню выпуска продукта. Поясним это на условном примере. Пусть производство определенного количества сельхозпродукции требует 10 работников и 2 т удобрений, а при внесении в почву только 1 т удобрений потребуется уже 12 работников для получения того же урожая. Здесь 1 т удобрений (первый ресурс) заменяется трудом двух работников (второй ресурс).

Условия эквивалентной взаимозаменяемости ресурсов в некоторой точке вытекают из равенства dP = 0:

Отсюда предельная норма замещения (эквивалентной заменяемости) каких-либо двух ресурсов k и l задается формулой

(7.20)

Предельная норма замещения как показатель производственной функции характеризует относительную эффективность допускающих взаимную замену факторов производства при движении вдоль изокванты. Например, для функции Кобба – Дугласа предельная норма замещения затрат труда затратами капитала, т.е. производственными фондами, имеет вид

(7.21)

Знак минус в правых частях формул (7.20) и (7.21) означает, что при фиксированном объеме производства увеличению одного из взаимозаменяемых ресурсов соответствует уменьшение другого.

Пример 7.1. Рассмотрим пример производственной функции Кобба – Дугласа, для которой известны коэффициенты эластичности выпуска по труду и капиталу: α = 0,3; β = 0,7, а также затраты труда и капитала: L = 30 тыс. чел.; К = 490 млн руб. В этих условиях предельная норма замещения производственных фондов затратами труда равна

Таким образом, в этом условном примере в тех точках двухмерного пространства (L, К ), где ресурсы труда и капитала взаимозаменяемы, уменьшение производственных фондов на 7 тыс. руб. может быть компенсировано увеличением затрат труда на 1 чел., и наоборот.

С понятием предельной нормы замещения связано понятие эластичности замещения ресурсов. Коэффициент эластичности замещения характеризует отношение относительного изменения соотношения затрат ресурсов k и l к относительному изменению предельной нормы замещения этих ресурсов:

Этот коэффициент показывает, на сколько процентов должно измениться отношение между взаимозаменяемыми ресурсами, чтобы предельная норма замещения этих ресурсов изменилась на 1%. Чем выше эластичность замены ресурсов, тем в более широких пределах они могут заменять друг друга. При бесконечной эластичности () не существует границ взаимозаменяемости ресурсов. При нулевой эластичности замещения () возможность замены отсутствует; в этом случае ресурсы взаимодополняют друг друга и обязательно должны использоваться в определенном соотношении.

Рассмотрим в дополнение к функции Кобба – Дугласа некоторые другие производственные функции, широко используемые в качестве эконометрических моделей. Линейная производственная функция имеет вид

– оцениваемые параметры модели;

, – факторы производства, взаимозамещаемые в любых пропорциях (эластичность замещения ).

Изокванты этой производственной функции образуют семейство параллельных гиперплоскостей в неотрицательном ортанте n -мерного пространства факторов.

Во многих исследованиях применяются производственные функции с постоянной эластичностью замещения .

(7.23)

Производственная функция (7.23) является однородной функцией степени п. Все эластичности замещения ресурсов равны между собой:

вследствие этого данная функция называется функцией с постоянной эластичностью замещения (функцией CES ). Если , эластичность замещенияменьше единицы; если , величина больше единицы; при функция CES преобразуется в мультипликативную степенную производственную функцию (7.16).

Двухфакторная функция CES имеет вид

При п = 1 и р = 0 эта функция преобразуется в функцию типа функции Кобба – Дугласа (7.17).

Кроме производственных функций с постоянными коэффициентами эластичности выпуска от ресурсов и постоянной эластичностью замещения ресурсов в экономическом анализе и прогнозировании применяются и функции более общего вида. В качестве примера можно привести функцию

Эта функция отличается от функции Кобба – Дугласа множителем , где z = K/L – фондовооруженность (капиталовооруженность) труда, и в ней эластичность замещения принимает различные значения в зависимости от уровня капиталовооруженности труда. В связи с этим данная функция относится к типу производственных функций с переменной эластичностью замещения (функции VES ).

Перейдем к рассмотрению ряда вопросов практического использования производственных функций в экономи-

ческом анализе. Макроэкономические производственные функции применяются как инструмент прогнозирования объемов валовой продукции, конечного продукта и национального дохода, для анализа сравнительной эффективности факторов производства. Так, важным условием роста производства и производительности труда является увеличение фондовооруженности труда. Если для функции Кобба – Дугласа

задать условие линейной однородности , то из соотношения между производительностью труда (P/L ) и фондовооруженностью труда (K/L )

(7.24)

следует, что производительность труда растет медленнее фондовооруженности, так как . Этот вывод, как и многие другие результаты анализа на основе производственных функций, всегда справедлив для статических производственных функций, не учитывающих совершенствования технических средств труда и качественных характеристик используемых ресурсов, т.е. без учета технического прогресса. Для оценки параметров модели (7.24) ее линеаризируют путем логарифмирования:

Наряду с количественным увеличением используемых объемов ресурсов (трудовых ресурсов, производственных фондов и т.д.) важнейшим фактором роста производства служит научно-технический прогресс, заключающийся в совершенствовании технических средств и технологии, повышении квалификации работающих, улучшении организации управления производством. Статические эконометрические модели, в том числе и статические производственные функции, не учитывают фактор технического прогресса, поэтому используются динамические макроэкономические производственные функции, параметры которых определяются путем обработки временных рядов. Технический прогресс обычно отражают в производственных функциях в виде тенденции развития производства, зависящей от времени.

Например, функция Кобба – Дугласа с учетом фактора технического прогресса приобретает следующий вид:

В модели (7.25) множитель отражает тенденцию развития производства, связанную с научно-техническим прогрессом. В этом множителе t – время, а λ – темп прироста выпуска продукции благодаря техническому прогрессу. При практическом использовании модели (7.25) для оценки ее параметров проводится линеаризация путем логарифмирования, аналогично модели (7.24):

Следует особо отметить, что при построении производственных функций, как и для всех многофакторных эконометрических моделей, весьма важным моментом является правильный отбор влияющих факторов . В частности, необходимо избавляться от явлений мультиколлинеарности факторов и явлений автокорреляции внутри каждого из них. Этот вопрос детально описан в параграфе 7.1 данной главы. При оценке параметров производственных функций на основе статистических наблюдений, включая временные ряды, основным методом является метод наименьших квадратов.

Рассмотрим применение производственных функций для экономического анализа и прогнозирования на условном примере из области экономики труда.

Пример 7.2. Пусть объем выпуска продукции отрасли характеризуется производственной функцией типа функции Кобба – Дугласа:

Р – объем выпуска продукции (млн руб.);

Т – численность работников отрасли (тыс. чел.);

Ф – среднегодовая стоимость основных производственных фондов (млн руб.).

Допустим, параметры этой производственной функции известны и равны: а = 0,3; β = 0,7; коэффициент размерности А = = 0,6 (тыс. руб./чел.)0,3. Известна также величина среднегодовой стоимости основных производственных фондов Ф = 900 млн руб. В этих условиях требуется:

• 1) определить количество работников отрасли, необходимое для выпуска продукции в объеме 300 млн руб.;
• 2) выяснить, как изменится выпуск продукции при увеличении численности работающих па 1% и тех же объемах производственных фондов;
• 3) оценить взаимозаменяемость материальных и трудовых ресурсов.

Чтобы ответить на вопрос первого задания, линеаризируем эту производственную функцию путем логарифмирования по натуральному основанию;

откуда следует, что

Подставляя исходные данные, получим

Отсюда (тыс. чел.).

Рассмотрим второе задание. Так как , данная производственная функция является линейно однородной; в соответствии с этим коэффициенты аир являются коэффициентами эластичности выпуска по труду и фондам соответственно. Следовательно, увеличение числа работающих отрасли на 1% при неизменном объеме производственных фондов приведет к росту выпуска продукции на 0,3%, т.е. выпуск составит 300,9 млн руб.

Переходя к третьему заданию, рассчитаем предельную норму замещения производственных фондов трудовыми ресурсами. В соответствии с формулой (7.21)

Таким образом, при условии взаимозаменяемости ресурсов для обеспечения постоянства выпуска (т.е. при движении по изокванте) уменьшение производственных фондов отрасли на 3,08 тыс. руб. может быть возмещено увеличением трудовых ресурсов на 1 чел., и наоборот.

Производство - основная область деятельности фирмы. Фирмы используют производственные факторы, которые называются также вводимыми (входными) факторами производства..

Производственная функция - это зависимость между набором факторов производства и максимально возможным объемом продукта, производимым с помощью данного набора факторов .

Производственная функция может быть представлена множеством изоквант, связанных с различными уровнями объема производства. Такой вид функции, когда устанавливается явная зависимость объема производства продукции от наличия или потребления ресурсов, называется функцией выпуска.

В частности, широко используются функции выпуска в сельском хозяйстве, где с их помощью изучается влияние на урожайность таких факторов, как, напр., разные виды и составы удобрений, методы обработки почвы. Наряду с подобными производственной функцией используются обратные к ним функции производственных затрат. Они характеризуют зависимость затрат ресурсов от объемов выпуска продукции (строго говоря, они обратны только к ПФ с взаимозаменяемыми ресурсами). Частными случаями ПФ можно считать функцию издержек (связь объема продукции и издержек производства), инвестиционную функцию: зависимость потребных капиталовложений от производственной мощности будущего предприятия .

Существует широкий выбор алгебраических выражений, которые можно использовать для представления производственных функций. Простейшая модель - это специальный случай общей модели анализа производства. Если фирме доступен только один вид деятельности, то производственную функцию можно представить прямоугольными изоквантами с постоянной отдачей от масштаба. Возможность изменять соотношение факторов производства отсутствует, и эластичность замены, безусловно, равна нулю. Это крайне специализированная производственная функция, но ее простота объясняет ее широкое применение во многих моделях .

Математически производственные функции могут быть представлены в различных формах - от столь простых, как линейная зависимость результата производства от одного исследуемого фактора, до весьма сложных систем уравнений, включающих рекуррентные соотношения, которыми связываются состояния изучаемого объекта в разные периоды времени ..

Производственная функция графически представляется семейством изоквант. Чем дальше от начала координат расположена изокванта, тем больший объем производства она отражает. В отличие от кривой безразличия, каждая изокванта характеризует количественно определенный объем выпуска.

Рисунок 2 _ Изокванты, соответствующие различному объему производства

На рис. 1 представлено три изокванты, соответствующие объему производства в 200, 300 и 400 единиц продукции. Можно сказать, что для выпуска 300 единиц продукции необходимо K 1 единиц капитала и L 1 единиц труда или K 2 единиц капитала и L 2 единиц труда, или любая другая их комбинация из того множества, которое представлено изоквантой Y 2 = 300.

В общем случае в множестве X допустимых наборов производственных факторов выделяется подмножество X c , называемое изоквантой производственной функции, которое характеризуется тем, что для всякого вектора справедливо равенство

Таким образом, для всех наборов ресурсов, соответствующих изокванте, оказываются равными объемы выпускаемой продукции. По существу изокванта представляет собой описание возможности взаимной замены факторов в процессе производства продукции, обеспечивающей неизменный объем производства. В связи с этим оказывается возможным определить коэффициент взаимной замены ресурсов, используя дифференциальное соотношение вдоль любой изокванты

Отсюда коэффициент эквивалентной замены пары факторов j и k равен:

Полученное соотношение показывает, что если производственные ресурсы замещаются в отношении, равном отношению приростных продуктивностей, то количество производимой продукции остается неизменным. Нужно сказать, что знание производственной функции позволяет охарактеризовать масштабы возможности осуществить взаимную замену ресурсов в эффективных технологических способах. Для достижения этой цели служит коэффициент эластичности замены ресурсов по продукции

который вычисляется вдоль изокванты при неизменном уровне затрат прочих производственных факторов. Величина sjk представляет собой характеристику относительного изменения коэффициента взаимной замены ресурсов при изменении соотношения между ними. Если отношение взаимозаменяемых ресурсов изменится на sjk процентов, то коэффициент взаимной замены sjk изменится на один процент. В случае линейной производственной функции коэффициент взаимной замены остается неизменным при любом соотношении используемых ресурсов и поэтому можно считать, что эластичность s jk = 1. Соответственно большие значения sjk свидетельствуют о том, что возможна большая свобода в замене производственных факторов вдоль изокванты и при этом основные характеристики производственной функции (продуктивности, коэффициент взаимозамены) будут меняться очень слабо .

Для степенных производственных функций для любой пары взаимозаменяемых ресурсов справедливо равенство s jk = 1.

Представление эффективного технологического множества с помощью скалярной производственной функции оказывается недостаточным в тех случаях, когда нельзя обойтись единственным показателем, описывающим результаты деятельности производственного объекта, но необходимо использовать несколько (М) выходных показателей (рисунок 3).

Рисунок 3 _ Различные случаи поведения изоквант

В этих условиях можно использовать векторную производственную функцию

Важное понятие предельной (дифференциальной) продуктивности вводится соотношением

Аналогичное обобщение допускают все остальные главные характеристики скалярных ПФ.

Подобно кривым безразличия изокванты также подразделяются на различные типы.

Для линейной производственной функции вида

где Y объем производства; A , b 1 , b 2 параметры; K , L затраты капитала и труда, и полном замещении одного ресурса другим изокванта будет иметь линейную форму (рисунок 4, а).

Для степенной производственной функции

Тогда изокванты будут иметь вид кривых (рисунок 4,б).

Если изокванта отражает лишьодин технологический способ производства данного продукта, то труд и капитал комбинируются в единственно возможном сочетании (рисунок 4,в).

г) Ломаные изокванты

Рисунок 4 - Разные варианты изоквант

Такие изокванты иногда называют изоквантами леонтьевского типа по имени американского экономиста В.В. Леонтьева, который положил такой тип изокванты в основу разработанного им метода inputoutput (затраты выпуск).

Ломаная изокванта предполагает наличие ограниченного количества технологий F (рисунок 4,г).

Изокванты подобной конфигурации используются в линейном программировании для обоснования теории оптимального распределения ресурсов. Ломаные изокванты наиболее реалистично представляют технологические возможности многих производственных объектов. Однако в экономической теории традиционно используют главным образом кривые изокванты, которые получаются из ломаных при увеличении числа технологий и увеличении соответственно точек излома .

Наиболее широко распространены мультипликативно-степенные формы представления производственных функций. Их особенность состоит в следующем: если один из сомножителей равен нулю, то результат обращается в нуль. Легко заметить, что это реалистично отражает тот факт, что в большинстве случаев в производстве участвуют все анализируемые первичные ресурсы и без любого из них выпуск продукции оказывается невозможным. В самой общей форме (она называется канонической) эта функция записывается так:

Здесь коэффициент А, стоящий перед знаком умножения, учитывает размерность, он зависит от избранной единицы измерений затрат и выпуска. Сомножители от первого до n-го могут иметь различное содержание в зависимости от того, какие факторы оказывают влияние на общий результат (выпуск). Напр., в ПФ, которая применяется для изучения экономики в целом, можно в качестве результативного показателя принять объем конечного продукта, а сомножителей - численность занятого населения x1, сумму основных и оборотных фондов x2, площадь используемой земли x3. Только два сомножителя у функции Кобба-Дугласа, с помощью которой была сделана попытка оценить связь таких факторов, как труд и капитал, с ростом национального дохода США в 20-30-е гг. ХХ в.:

N = A · Lб · Kв,

где N - национальный доход; L и K - соответственно объемы приложенного труда и капитала (подробнее см.;Кобба-Дугласа функция).

Степенные коэффициенты (параметры) мультипликативно-степенной производственной функции показывают ту долю в процентном приросте конечного продукта, которую вносит каждый из сомножителей (или на сколько процентов возрастет продукт, если затраты соответствующего ресурса увеличить на один процент); они являются коэффициентами эластичности производства относительно затрат соответствующего ресурса. Если сумма коэффициентов составляет 1, это означает однородность функции: она возрастает пропорционально росту количества ресурсов. Но возможны и такие случаи, когда сумма параметров больше или меньше единицы; это показывает, что увеличение затрат приводит к непропорционально большему или непропорционально меньшему росту выпуска - эффект масштаба .

В динамическом варианте применяются разные формы производственной функции. Например в 2-факторном случае: Y(t) = A(t) Lб(t) Kв(t), где множитель A(t) обычно возрастает во времени, отражая общий рост эффективности производственных факторов в динамике.

Логарифмируя, а затем дифференцируя по t указанную функцию, можно получить соотношения между темпами прироста конечного продукта (национального дохода) и прироста производственных факторов (темпы прироста переменных принято здесь описывать в процентах).

Дальнейшая “динамизация” ПФ может заключаться в использовании переменных коэффициентов эластичности.

Описываемые ПФ соотношения носят статистический характер, т. е. проявляются только в среднем, в большой массе наблюдений, поскольку реально на результат производства воздействуют не только анализируемые факторы, но и множество неучитываемых. Кроме того, применяемые показатели как затрат, так и результатов неизбежно являются продуктами сложного агрегирования (напр., обобщенный показатель трудовых затрат в макроэкономической функции вбирает в себя затраты труда разной производительности, интенсивности, квалификации и т. д.).

Особая проблема - учет в макроэкономических ПФ фактора технического прогресса (подробнее см. в ст. “Научно-технический прогресс”). С помощью ПФ изучается также эквивалентная взаимозаменяемость факторов производства (см. Эластичность замещения ресурсов), которая может быть либо неизменной, либо переменной (т. е. зависимой от объемов ресурсов). Соответственно функции делят на два вида: с постоянной эластичностью замены (CES - Constant Elasticity of Substitution) и с переменной (VES - Variable Elasticity of Substitution) (см. ниже).

На практике применяются три основных метода определения параметров макроэкономических ПФ: на основе обработки временных рядов, на основе данных о структурных элементах агрегатов и о распределении национального дохода. Последний метод называется распределительным.

При построении производственной функции необходимо избавляться от явлений мультиколлинеарности параметров и автокорреляции - в противном случае неизбежны грубые ошибки.

Приведем некоторые важные производственные функции.

Линейная производственная функция:

P = a1x1 + ... + anxn,

где a1, ..., an - оцениваемые параметры модели: здесь факторы производства замещаемы в любых пропорциях.

Функция CES:

P = A [(1 - б) K-b + бL-b]-c/b,

в этом случае эластичность замещения ресурсов не зависит ни от K, ни от L и, следовательно, постоянна:

Отсюда и происходит название функции.

Функция CES, как и функция Кобба- Дугласа, исходит из допущения о постоянном убывании предельной нормы замещения используемых ресурсов. Между тем эластичность замещения капитала трудом и, наоборот, труда капиталом в функции Кобба-Дугласа, равная единице, здесь может принимать различные значения, не равные единице, хотя и является постоянной. Наконец, в отличие от функции Кобба-Дугласа логарифмирование функции CES не приводит ее к линейному виду, что вынуждает использовать для оценки параметров более сложные методы нелинейного регрессионного анализа .

Производственная функция всегда конкретна, т.е. предназначается для данной технологии. Новая технология - новая производительная функция. С помощью производственной функции определяется минимальное количество затрат, необходимых для производства данного объема продукта.

Производственные функции, независимо от того, какой вид производства ими выражается, обладают следующими общими свойствами:

• 1) Увеличение объема производства за счет роста затрат только по одному ресурсу имеет предел (нельзя нанимать много рабочих в одно помещение - не у всех будут места).
• 2) Факторы производства могут быть взаимодополняемы (рабочие и инструменты) и взаимозаменяемы (автоматизация производства).

В наиболее общем виде производственная функция выглядит следующим образом:

где - объем выпуска;

K- капитал (оборудование);

М- сырье, материалы;

Т - технология;

N - предпринимательские способности.

Наиболее простой является двухфакторная модель производственной функции Кобба - Дугласа, с помощью которой раскрывается взаимосвязь труда (L) и капитала (К).

Эти факторы взаимозаменяемы и взаимодополняемы. Еще в 1928 году американские ученые - экономист П. Дуглас и математик Ч. Кобб - создали макроэкономическую модель, позволяющую оценить вклад различных факторов производства в увеличении объема производства или национального дохода. Эта функция имеет следующий вид:

где А - производственный коэффициент, показывающий пропорциональность всех функций и изменяется при изменении базовой технологии (через 30-40 лет);

K, L- капитал и труд;

б,в -коэффициенты эластичности объема производства по затратам капитала и труда.

Если б = 0,25, то рост затрат капитала на 1% увеличивает объем производства на 0,25%.

На основе анализа коэффициентов эластичности в производственной функции Кобба - Дугласа можно выделить:

1) пропорционально возрастающую производственную функцию, когда

2) непропорционально - возрастающую

3) убывающую

Рассмотрим короткий период деятельности фирмы, в котором из двух факторов переменным является труд. В такой ситуации фирма может увеличить производство за счет использования большего количества трудовых ресурсов (рисунок 5).

Рисунок 5_ Динамика и взаимосвязь общего среднего и предельного продуктов

На рисунке 5 виден график производственной функции Кобба - Дугласа с одной переменной изображен - кривая ТРн .

Функция Кобба-Дугласа имела долгую и успешную жизнь без серьезных соперников, но недавно ей составила сильную конкуренцию новая функция Эрроу, Ченери, Минхаса и Солоу, которую мы будем называть сокращенно SMAC. (Браун и Де Кани также разработали эту функцию независимо). Основное отличие функции SMAC заключается в том, что вводится постоянная эластичности замещения у, отличная от единицы (как в функции Кобба-Дугласа) и нуля: как в модели затраты- выпуск .

Разнообразие рыночных и технологических условий, какое наблюдается в современной экономике, внушает мысль о невозможности удовлетворить основным требованиям разумного агрегирования, за исключением, может быть, отдельных фирм в одной и той же отрасли или ограниченных секторов экономики .

Таким образом, в экономико-математических моделях производства каждая технология графически может быть представлена точкой, координаты которой отражают минимально необходимые затраты ресурсов K и L для производства данного объема выпуска. Множество таких точек образуют линию равного выпуска, или изокванту. Т.е., производственная функция графически представляется семейством изоквант. Чем дальше от начала координат расположена изокванта, тем больший объем производства она отражает. В отличие от кривой безразличия, каждая изокванта характеризует количественно определенный объем выпуска. Обычно в микроэкономике анализируется двухфакторная производственная функция, отражающая зависимость выпуска от количества используемых труда и капитала.

Производственная функция – это зависимость между количеством и структурой использованных ресурсов (L-труд, K- капитал) и максимально возможным количеством продукции (Q), который фирма способна произвести в течение определенного периода времени.

Производственная функция характеризует данную технологию. Совершенствование технологии, которое обеспечивает новый достигнутый объем выпускаемой продукции при любой комбинации факторов отражается новой производственной функцией.

Набор факторов производства или ресурсов можно представить как затраты труда, капитала(орудия труда и материалы), тогда производственная функция может быть описана следующим образом:

Q = f (L, K),

где Q - максимальный объем продукции, производимый при данной технологии и данном соотношении труда - L, капитала - К.

2.2.Свойства производственной функции

Все производственные функции обладают общими свойствами:

Существуют границы роста объема производства, который может быть достигнут увеличением затрат одного ресурса при неизменных других ресурсах.

Возможна определенная взаимная дополняемость (комплементарность) факторов производства, но без уменьшения объема производства, возможна и определенная взаимозаменяемость этих факторов.

Изменения в применении факторов производства более эластичны на продолжительном отрезке времени, чем в течение короткого периода в деятельности фирмы.

Короткий период времени - это период производства, в течение которого все ресурсы за исключением одного являются неизменными, тогда весь прирост объема производства связан с приростом использования именно данного фактора.

Долгосрочный период времени - это период, в течение которого производитель может изменить все факторы производства данной продукции. В теории продолжительный период времени рассматривают как последовательно сменяющие друг друга короткие периоды.

Совокупный продукт переменного фактора производства (ТР)- это количество продукции, производимой при определенном количестве этого фактора и при прочих неизменных факторах производства.

Средний продукт переменного фактора производства - это отношение совокупного продукта переменного фактора к использованному количеству этого фактора. Например, средний продукт труда AP (L) - это совокупный продукт труда ТР(L), деленный на количество часов труда (L):

Представленная величина представляет собой производительность труда или величину выпуска продукции за каждый час труда.

Средний продукт капитала:

Предельный продукт переменного фактора производства - это изменение совокупного продукта этого фактора (например, ТР L ) при изменении на единицу используемого фактора (например, фактор труд (L) меняется на единицу, а капитал не меняется).

где F фактор производства (L или K).

Закон убывающей отдачи (предельной производительности факторов производства):

В условиях осуществления производственной деятельности фир­ма должна использовать основные факторы производства в опреде­ленной пропорции между постоянными и переменными ресурсами. Если предприятие увеличивает только количество переменных фак­торов без изменения постоянного фактора, то в этом случае вступает в действие закон убывающей отдачи.

Закон убывающей предельной производительности факторов производства гласит, что если фирма наращивает объем исполь­зования только некоторых или одного из факторов производства, то прирост выпуска, приносимый дополнительными объемами этих факторов, в конце концов, начнет снижаться.

В соответствии с законом, непрерывное увеличение использо­вания одного переменного ресурса в сочетании с неизменным ко­личеством других ресурсов на определенном этапе приведет к пре­кращению роста отдачи, а затем и ее снижению. Следует отметить, что достаточно часто действие закона предполагает постоянство технологического уровня производства, и поэтому переход к более прогрессивной технологии может повысить отдачу независимо от соотношения постоянных и переменных факторов.

Рассмотрим следующий пример. Как на предприятии изменится отдача от переменного фактора в краткосрочном периоде, если часть ресурсов или факторов производства остается постоянной. В крат­косрочном периоде предприятие не в состоянии ввести новые цеха, установить новое оборудование и т. д.

Допустим, что предприятие в своей деятельности использует только один переменный ресурс - труд, отдачей которого является производительность. Необходимо определить, как будут изменяться издержки фирмы при постепенном увеличении переменного ресурса (количества рабочих).

В небольшом цехе на 3 единицы оборудования один рабочий де­лает за смену 5 изделий. С привлечением второго рабочего вдвоем они сделают за смену 12 изделий, третьим - 20, с четвертым - 25, с пятым - тоже 25, с шестым - 20. Присоединение второго рабочего дает прирост 7 единиц, третьего - 8 единиц, четвертого - 5 единиц, пятого - прироста не дает вовсе. Таким образом, уже с четвертой единицы переменного фактора фиксируем убывающую отдачу. То же наблюдаем в случае со средней величиной произведенной продукции. Один рабочий - 5 изделий, два - по 6, три - по 6,7, четыре - по 6,2, пять - по 5, шесть - 3,3. Возникает вопрос, почему так резко падает отдача? Потому что при тех же производственных мощностях (три станка) пятый и шестой рабочие уже не просто лишние, они мешают рациональному производственному процессу.

Таблица 5.3

Запишем приведенные данные в табл. 5.3 и построим соответ­ствующие графики 5.6 и 5.7.

Данные таблицы и графики, построенные по ним, свидетельству­ют о том, что начиная с определенного момента, и общая, и предель­ная, и средняя производительности убывают. В этом проявляется сущность закона убывающей отдачи .

Эффект масштаба

Устранить действие закона убывающей отдачи можно, если фир­ма откроет дополнительные производства, то есть будут введены в действие новые производственные мощности. По сути, произойдет наращивание производственного потенциала - постоянного ресурса (долгосрочный период)

В долгосрочном периоде использование факторов производства (L и K) необходимо рассматривать как переменные. Это связано с тем, что фирма может активно изменять привлекаемые производственные ресурсы. В дан­ном случае все издержки предприятия будут выступать в качестве переменных.

Зависимость между увеличением факторов производства и объемом выпуска характеризуется эффектом масштаба :

Эффект масштаба будет положительным, если при увеличении объемов производства средние валовые издержки уменьшаются, и отрицательным - если они увеличиваются.

Анализ издержек фирмы в краткосрочном и долгосрочном пе­риодах является необходимым, но не достаточным условием при планировании выпуска продукции на ближайшее время и перспек­тиву. Минимизация издержек - это не самоцель, а лишь средство повышения прибыли или сокращения убытков, а в конечном сче­те - обеспечения стабильности и устойчивости положения фирмы в условиях рынка.

Таким образом, если в краткосрочном периоде для фирмы важно найти оптимальное соотношение факторов производства (K ,L), то в долгосрочном периоде фирмой решается задача выбора необходимого масштаба деятельности фирмы.

Производственная функция

Соотношение между вводимыми факторами и итоговым выходом продукции описывается производственной функцией. Она является исходным пунктом в микроэкономических расчетах фирмы, позволяет найти оптимальный вариант ис­пользования производственных возможностей.

Производственная функция показывает возможный максимальный выпуск продукции (Q) при определенном сочетании производственных факторов и избранной технологии.

Для каждой технологии производства существует своя особая функция. В наиболее общем виде она записывается:

где Q– объем производства,

K–капитал

M– природные ресурсы

Рис. 1 Производственная функция

Производственная функция характеризуется определенными свойствами :

Существует предел для роста объема производства, который может быть достигнут за счет увеличения объема использования одного фактора при условии, что другие факторы производства не меняются. Данное свойство получило название закона убывающей производительности фактора производства . Он действует в краткосрочном периоде.

Существует определенная взаимодополняемость факторов производства, но без сокращения производства возможна и определенная взаимозаменяемость этих факторов.

Изменения в использовании факторов производства более эластичны на продолжительном отрезке времени, чем за короткий период.

Производственная функция может рассматриваться как однофакторная и многофакторная. Однофакторная полагает, что при прочих равных условиях, изменяется только фактор производства. Многофакторная предполагает изменение всех факторов производства.

Для краткосрочного периода используется однофакторная, а для долгосрочного – многофакторная.

Краткосрочный период – это такой период, в течение которого хотя бы один фактор остаётся неизменным.

Долгосрочный период – это период времени, в течение которого все факторы производства изменяются.

При анализе производства используются такие понятия как общий продукт (ТР) – объём товаров и услуг, произведенных за определённый период времени.

Средний продукт (АР) характеризует количество продукции, приходящейся на единицу используемого фактора производства.Он характеризует производительность фактора производства и рассчитывается по формуле:

Предельный продукт (МР) - дополнительная продукция, произведенная дополнительной единицей фактора производства. МРхарактеризует производительность дополнительно нанятой единицы фактора производства.

Таблица 1 - Результаты производства в краткосрочном периоде

Анализ данных таблицы 1 позволяет выявить ряд закономерностей поведения общего, среднего и предельного продукта. В точке максимума общего продукта (ТР) предельный продукт (МР) равен 0. Если при росте объема используемого в производстве труда предельный продукт труда больше среднего, то значение среднего продукта растет и это свидетельствует о том, что отношение труда к капиталу далеко от оптимального и часть оборудования не используется в силу нехватки труда. Если при росте объема труда предельный продукт труда меньше среднего продукта, то средний продукт труда будет уменьшаться.

Закон замещения факторов производства.

Равновесное положение фирмы

Один и тот же максимальный объем производства фирмы можно обеспечить за счет разного сочетания факторов производства. Это обусловлено способностью одного ресурса вытесняться другим без ущерба для результатов производства. Такая способность называется взаимозаменяемостью факторов производства.

Так, если объемы ресурса труда увеличиваются, то использование капитала может уменьшаться. В этом случае мы прибегаем к трудоемкому варианту производства. Если, напротив, возрастает объем используемого капитала, а труд вытесняется, то речь идет о капиталоемком варианте производства. Скажем, вино можно произвести трудоемким ручным способом или капиталоемким способом с применением машинного оборудования для выжимки винограда.

Технология производства фирмы - это способ соединения факторов производства для выпуска продукции, основанный на определенном уровне знаний. По мере развития технологий фирма в состоянии получить такой же или больший объем выпуска при неизменном наборе производственных факторов.

Количественное соотношение взаимозаменяемых факторов позволяет оценить коэффициент, называемый предельной технологической нормой замещения (MRTS ).

Предельная норма технологического замещения труда капиталом представляет собой величину, на которую можно сократить капитал за счет использования дополнительной единицы труда без изменения объема выпуска. Математиче­ски это можно выразить так:

MRTS LK = - dK / dL = - ΔK / ΔL

где ΔK - изменение величины используемого капитала;

ΔL изменение трудозатрат на одну единицу продукции.

Рассмотрим вариант расчетов производственной функции и замещения факторов производства для гипотетической фирмы X.

Предположим, что данная фирма может изменять объемы производственных факторов, труд и капитал от 1 до 5 единиц. Изменения объемов выпуска, связанные с этим, могут быть представлены в виде таблицы, которая носит название «Производственная сетка» (табл. 2).

Таблица 2

Производственная сетка фирмы Х

Для каждой комбинации основных факторов мы определили максимально возможный выпуск продукции, т. е. значения производственной функции. Обратим внимание на тот факт, что, скажем, объем выпуска в 75 единиц достигается при четырех различных комбинациях труда и капитала, объем в 90 единиц - при трех комбинациях, 100 - при двух и т. д.

Представив производственную сетку графически, мы получим кривые, которые являются еще одним вариантом модели производственной функции, ранее зафиксированной в виде алгебраической формулы. Для этого мы соединим точки, которые соответствуют сочетаниям труда и капитала, позволяющим получить один и тот же объем выпуска (рис. 1).

K

Рис. 1. Карта изоквант.

Созданная графическая модель называется изоквантной. Набор изоквант - картой изоквант.

Итак, изокванта - это кривая, каждая точка которой со­ответствует сочетаниям производственных факторов, обеспе­чивающим определенный максимальный объем выпуска про­дукции фирмы.

Для того чтобы получить один и тот же объем выпуска, мы можем сочетать факторы, двигаясь в поиске вариантов вдоль изокванты. Движение по изокванте вверх означает, что фирма отдает предпочтение капиталоемкому производству, увеличивая количество станков, мощность электродвигате­лей, число компьютеров и т. п. Движение вниз отражает предпочтение фирмы в пользу трудоемкого производства.

Выбор фирмы в пользу трудоемкого или капиталоемкого варианта производственного процесса зависит от условий предпринимательства: общей суммы денежного капитала, ко­торым располагает фирма, соотношения цен на факторы про­изводства, производительности факторов и так далее.

Если D - денежный капитал;Р K - цена на капитал;Р L - цена на труд, то количество факторов, которое может приоб­рести фирма, полностью расходовав денежный капитал,К – количество капитала,L – количество труда, бу­дет определяться формулой:

D = P K K + P L L

Это уравнение прямой, все точки которой соответствуют полному использованию денежного капитала фирмы. Такая кривая называется изокостой или бюджетной линией.

K

A

Рис. 2. Равновесие производителя.

На рис. 2 мы совместили линию бюджетного ограниче­ния фирмы, изокосту (АВ) с картой изоквант, т. е. набором альтернатив производственной функции (Q 1 ,Q 2 ,Q 3), чтобы показать точку равновесия производителя(Е).

Равновесие производителя - это такое положение фир­мы, для которого характерно полное использование денежно­го капитала и при этом достижение максимально возможно­го для данного количества ресурсов объема выпуска.

В точке Е изокванта и изокоста имеют равный угол накло­на, величину которого определяет показатель предельной нормы технологического замещения(MRTS ).

Динамика показателя MRTS (он возрастает при движении вверх вдоль изокванты) показывает, что существуют пределы взаимозамещения факторов, связанные с тем, что эффектив­ность использования производственных факторов ограниче­на. Чем большее количество труда используется для вытес­нения капитала из производственного процесса, тем меньше производительность труда. Аналогичным образом замещение труда все большим количеством капитала снижает отдачу по­следнего.

Производство требует сбалансированного сочетания обо­их производственных факторов для наилучшего их использо­вания. Предпринимательская фирма готова заменить один фактор на другой при условии выигрыша или, по меньшей мере, равенства потери и выигрыша в производительности.

Но на рынке факторов важно учитывать не только их производительность, но и цены на них.

Наилучший вариант использования денежного капитала фирмы, или положение равновесия производителя, подчиня­ется следующему критерию: положение равновесия произво­дителя достигается, когда предельная норма технологическо­го замещения факторов производства равна соотношению цен на эти факторы. Алгебраически это можно выразить так:

- P L / P K = - dK / dL = MRTS

где P L , P K - цены на труд и капитал;dK , dL - изменение ко­личества капитала и труда;MTRS - предельная норма техно­логического замещения.

Анализ технологических аспектов производства фирмы, максимизирующей прибыль, представляет интерес лишь с точки зрения достижения наилучших конечных результатов, т. е. продукта. Ведь вложения в ресурсы для предпринимателя являются только издержками, которые необходимо нести, чтобы получить продукт, реализуемый на рынке и принося­щий доход. Затраты приходится сопоставлять с результатом. Показатели результата, или продукта, приобретают поэтому особое значение.