Сума трьох кутів трикутника дорівнює 180. Теорема про суму кутів трикутника

Те, що «Сума кутів будь-якого трикутника в евклідовій геометрії дорівнює 180 градусів» можна просто запам'ятати. Якщо запам'ятати не просто, можна провести кілька експериментів для кращого запам'ятовування.

Експеримент перший

Накресліть на аркуші паперу кілька довільних трикутників, наприклад:

  • з довільними сторонами;
  • рівнобедрений трикутник;
  • прямокутний трикутник.

Обов'язково користуйтеся лінійкою. Тепер потрібно вирізати отримані трикутники, роблячи це рівно за накресленими лініями. Зафарбуйте кути кожного трикутника кольоровим олівцем чи фломастером. Наприклад, у першому трикутники всі кути будуть червоними, у другому – синіми, третьому – зеленими. http://bit.ly/2gY4Yfz

Від першого трикутника відріжте всі 3 кути і з'єднайте вершинами їх в одну точку, так, щоб найближчі сторони кожного кута з'єднувалися. Як видно, три кути трикутника утворили розгорнутий кут, який дорівнює 180 градусів. Те саме проробіть з двома іншими трикутниками – результат буде той самий. http://bit.ly/2zurCrd

Експеримент другий

Чортимо довільний трикутник ABC. Вибираємо будь-яку вершину (наприклад, C) і через неї проводимо пряму DE, паралельну до протилежної сторони (AB). http://bit.ly/2zbYNzq

Отримуємо таке:

  1. Кути BAC і ACD рівні, як внутрішні нахресні відносно AC;
  2. Кути ABC і BCE рівні, як внутрішні нахресні відносно BC;
  3. Бачимо, що кути 1, 2 і 3 – кути трикутника, з'єднані в одній точці, утворили розгорнутий кут DCE, який дорівнює 180 градусів.

Теорема про суму кутів трикутника свідчить, що сума всіх внутрішніх кутівбудь-якого трикутника дорівнює 180 °.

Нехай внутрішні кути трикутника дорівнюють a, b і c, тоді:

a + b + c = 180 °.

З цієї теорії можна дійти невтішного висновку, що сума всіх зовнішніх кутів будь-якого трикутника дорівнює 360°. Оскільки зовнішній кут є суміжним кутом із внутрішнім, їх сума дорівнює 180°. Нехай внутрішні кути трикутника рівні a, b і c, тоді зовнішні кути при цих кутах дорівнює 180 ° - a, 180 ° - b і 180 ° - c.

Знайдемо суму зовнішніх кутів трикутника:

180 ° - a + 180 ° - b + 180 ° - c = 540 ° - (a + b + c) = 540 ° - 180 ° = 360 °.

Відповідь: сума внутрішніх кутів трикутника дорівнює 180 °; сума зовнішніх кутів трикутника дорівнює 360 °.

Ця теорема сформульована й у підручнику Атанасяна Л.С. , та у підручнику Погорєлова А.В. . Докази цієї теореми у цих підручниках суттєво не відрізняються, а тому наведемо її доказ, наприклад, із підручника Погорєлова А.В.

Теорема: Сума кутів трикутника дорівнює 180 °

Доведення. Нехай АВС – цей трикутник. Проведемо через вершину В пряму, паралельну до прямої АС. Зазначимо на ній точку D так, щоб точки А та D лежали по різні сторонивід прямої НД (рис.6).

Кути DВС та АСВ рівні як внутрішні навхрест лежачі, утворені січною ВС з паралельними прямими АС та ВD. Тому сума кутів трикутника при вершинах і С дорівнює куту АВD. А сума всіх трьох кутів трикутника дорівнює сумі кутів АВD та ВАС. Так як ці кути внутрішні односторонні для паралельних АС і ВD і січній АВ, їх сума дорівнює 180°. Теорему доведено.

Ідея цього докази полягає у проведення паралельної лінії та позначення рівності необхідних кутів. Реконструюємо ідею такої додаткової побудови, довівши цю теорему з використанням поняття про уявний експеримент. Доказ теореми з використанням уявного експерименту. Отже, предмет думки нашого уявного експерименту – кути трикутника. Помістимо його подумки у такі умови, у яких його сутність може розкритися з особливою определенностью(1этап).

Такими умовами будуть таке розташування кутів трикутника, при якому всі три вершини будуть поєднані в одній точці. Таке поєднання можливе, якщо допустити можливість "переміщення" кутів, за допомогою руху сторін трикутника не змінюючи при цьому кут нахилу (рис.1). Такі переміщення насправді є наступні уявні трансформації (2 етап).

Виробляючи позначення кутів і сторін трикутника (рис.2), кутів одержуваних при «переміщенні», тим самим подумки формуємо те середовище, ту систему зв'язків, у якому поміщаємо наш предмет думки (3 етап).

Лінія АВ «переміщаючись» лінією ВС і змінюючи до неї кута нахилу, переводить кут 1 в кут 5, а «переміщаючись» лінією АС, переводить кут 2 в кут 4. Оскільки за такому «переміщенні» лінія АВ не змінює кута нахилу до ліній АС і ВС, то очевидний висновок: промені а і а1 паралельні АВ і переходять один в одного, а промені в і в1 є продовженням відповідно сторін ВС і АС. Так як кут 3 і кут між променями і в1 - вертикальні, то вони рівні. Сума цих кутів дорівнює розгорнутому куту аа1 - отже 180°.

ВИСНОВОК

У дипломної роботипроведено «сконструйовані» докази деяких шкільних геометричних теорем, з використанням структури уявного експерименту, що було підтвердженням сформульованої гіпотези.

Докази, що викладаються, спиралися на такі наочно-чуттєві ідеалізації: «стиснення», «розтягування», «ковзання», які дозволили особливим чином трансформувати вихідний геометричний об'єкт і виділити його суттєві характеристики, що характерно для уявного експерименту. При цьому уявний експеримент виступає в ролі певного «креативного інструменту», що сприяє появі геометричного знання (наприклад, про середню лінію трапеції або про кути трикутника). Такі ідеалізації дозволяють схопити загалом ідею доказу, ідею проведення «додаткової побудови», що дозволяє говорити про можливість усвідомленішого розуміння школярами процесу формально-дедуктивного доказу геометричних теорем.

Думковий експеримент є одним із базових методів отримання та відкриття геометричних теорем. Необхідно розробити методику передачі методу учневі. Залишається відкритим питанняпро прийнятний для «прийняття» методу вік учня, про « побічні ефекти» доказів, що викладаються таким чином.

Ці питання потребують додаткового вивчення. Але в будь-якому випадку, безсумнівно, одне: уявний експеримент розвиває у школярів теоретичне мислення, є його базою і, тому, здатності до уявного експериментування треба розвивати.

Попередні відомості

Спочатку розглянемо безпосередньо поняття трикутника.

Визначення 1

Трикутником називатимемо геометричну фігуру, яка складена з трьох точок, з'єднаних між собою відрізками (рис. 1).

Визначення 2

Крапки в рамках визначення 1 називатимемо вершинами трикутника.

Визначення 3

Відрізки у межах визначення 1 називатимемо сторонами трикутника.

Очевидно, що будь-який трикутник матиме 3 вершини, а також три сторони.

Теорема про суму кутів у трикутнику

Введемо та доведемо одну з основних теорем, пов'язану з трикутників, а саме теорему про суму кутів у трикутнику.

Теорема 1

Сума кутів у будь-якому довільному трикутнику дорівнює $180^\circ$.

Доведення.

Розглянемо трикутник $EGF$. Доведемо, що сума кутів у цьому трикутнику дорівнює $180^\circ$. Зробимо додаткову побудову: проведемо пряму $XY||EG$ (рис. 2)

Так як прямі $XY$ і $EG$ паралельні, то $∠E=∠XFE$ як навхрест, що лежать при січній $FE$, а $∠G=∠YFG$ як навхрест, що лежать при січній $FG$

Кут $XFY$ буде розгорнутим, отже, дорівнює $180^\circ$.

$∠XFY=∠XFE+∠F+∠YFG=180^\circ$

Отже

$∠E+∠F+∠G=180^\circ$

Теорему доведено.

Теорема про зовнішній кут трикутника

Ще однією теоремою про суму кутів для трикутника можна вважати теорему про зовнішній кут. Спочатку введемо це поняття.

Визначення 4

Зовнішнім кутом трикутника називатимемо такий кут, який буде суміжним з будь-яким кутом трикутника (рис. 3).

Розглянемо тепер безпосередньо теорему.

Теорема 2

Зовнішній кут трикутника дорівнює сумі двох кутів трикутника, які є суміжним йому.

Доведення.

Розглянемо довільний трикутник $EFG$. Нехай має зовнішній кут трикутника $FGQ$ (рис. 3).

По теоремі 1 матимемо, що $∠E+∠F+∠G=180^\circ$, отже,

$∠G=180^\circ-(∠E+∠F)$

Оскільки кут $FGQ$ зовнішній, він зміжний з кутом $∠G$, тоді

$∠FGQ=180^\circ-∠G=180^\circ-180^\circ+(∠E+∠F)=∠E+∠F$

Теорему доведено.

Приклад завдань

Приклад 1

Знайти усі кути трикутника, якщо він є рівностороннім.

Так як у рівностороннього трикутника всі сторони рівні, то матимемо, що всі кути в ньому також рівні між собою. Визначимо їх градусні заходи через $α$.

Тоді, за теоремою 1 будемо отримувати

$α+α+α=180^\circ$

Відповідь: всі кути дорівнюють $60^\circ$.

Приклад 2

Знайти всі кути рівнобедреного трикутникаякщо один його кут дорівнює $100^\circ$.

Введемо такі позначення кутів у рівнобедреному трикутнику:

Оскільки нам не дано за умови, який саме кут дорівнює $100^\circ$, то можливі два випадки:

    Кут, що дорівнює $100^\circ$ - кут при основі трикутника.

    По теоремі про кути при основі рівнобедреного трикутника отримаємо

    $∠2=∠3=100^\circ$

    Але тоді їх сума буде більше, ніж $180^\circ$, що суперечить умові теореми 1. Отже, цей випадок немає місця.

    Кут, що дорівнює $100^\circ$ - кут між рівними сторонами, тобто

    Теорема про суму внутрішніх кутів трикутника

    Сума кутів трикутника дорівнює 180 °.

    Доведення:

    • Дано трикутник АВС.
    • Через вершину B проведемо пряму DK паралельно до основи AC.
    • \angle CBK= \angle C як внутрішній навхрест лежачі при паралельних DK та AC, та січній BC.
    • \angle DBA = \angle A внутрішній навхрест лежачі у DK \parallel AC та січній AB. Кут DBK розгорнутий і рівний
    • \angle DBK = \angle DBA + \angle B + \angle CBK
    • Оскільки розгорнутий кут дорівнює 180 ^\circ , а \angle CBK = \angle C і \angle DBA = \angle A , то отримаємо 180 ^\circ = \angle A + \angle B + \angle C.

    Теорема доведена

    Наслідки з теореми про суму кутів трикутника:

    1. Сума гострих кутів прямокутного трикутника дорівнює 90°.
    2. У рівнобедреному прямокутному трикутникукожен гострий кут дорівнює 45°.
    3. У рівносторонньому трикутникукожен кут дорівнює 60°.
    4. У будь-якому трикутнику або всі кути гострі, або два кути гострі, а третій - тупий або прямий.
    5. Зовнішній кут трикутника дорівнює сумідвох внутрішніх кутів, не суміжних із ним.

    Теорема про зовнішній кут трикутника

    Зовнішній кут трикутника дорівнює сумі двох кутів трикутника, що залишилися, не суміжних з цим зовнішнім кутом

    Доведення:

    • Дано трикутник АВС, де ВСD - зовнішній кут.
    • \angle BAC + \angle ABC +\angle BCA = 180^0
    • З рівностей кут \angle BCD + \angle BCA = 180^0
    • Отримуємо \angle BCD = \angle BAC+\angle ABC.

    Тип уроку:Вивчення нового матеріалу.

    Цілі уроку:

    Освітні:

    • разом із хлопцями “відкрити” і довести теорему про суму кутів трикутника;
    • узагальнити та систематизувати вивчений матеріал з даної теми;
    • познайомити учнів з історичним матеріаломз теми, що вивчається;
    • прищепити інтерес до математики за допомогою включення до уроку ігрових технологій;
    • сформувати навички, вміння у вирішенні геометричних завдань;

    Розвиваючі:

    • розвинути увагу, пам'ять, мовлення, логічне мислення, самостійність;
    • розглянути декілька способів доказу теореми, узагальнити з використанням елементів дослідження, розвинути математичну мову;
    • сформувати вміння порівнювати, узагальнювати факти та поняття;
    • розвинути співпрацю під час роботи в парах.

    Виховні:

    • виховувати прагнення досягати поставленої мети; почуття відповідальності, впевненості у собі, вміння працювати у колективі;
    • виховувати такі риси характеру, як наполегливість, цілеспрямованість, працьовитість та дисциплінованість;
    • прищепити навички акуратності при побудові креслень;
    • сформувати гуманні стосунки на уроці.

    Обладнання:ПК, мультимедійне обладнання, планшети, листи завдання з домашньою роботою, картонні трикутники, роздатковий матеріал.

    Застосовувані форми навчання:Фронтальна, індивідуальна роботаучнів та робота в парах. Для активізації уваги, уяви запроваджено ігрові моменти.

    Структура уроку:

    1. Організація початку уроку – 2 хв.
    2. Визначення завдань уроку – 1 хв.
    3. Підготовка до основного етапу уроку – 5 хв.
    4. Актуалізація раніше вивченого матеріалу – 4 хв.
    5. Ознайомлення з новим матеріалом – 10 хв.
    6. Фізкультхвилинка – 1 хв
    7. Первинна перевірка розуміння – 5 хв.
    8. Засвоєння знань. Розв'язання задач – 13 хв.
    9. Підбиття підсумків уроку. Рефлексія – 2 хв.
    10. Інформація про домашньому завданні- 2 хв.

    Хід уроку

    1. Організаційний момент.

    Вітання. Перевірка готовності учнів до уроку. На дошці тема уроку та висловлювання:

    ...Як для смертних істина ясна,
    Що в трикутник двом тупим не влитися.
    Данте А.

    2. Визначення завдань уроку.

    Хлопці, як ви думаєте, про яку фігуру йтиметься на цьому уроці? Які завдання уроку?

    • "відкрити" і довести теорему про суму кутів трикутника;
    • навчити вирішувати завдання, застосовуючи отримані знання.

    3. Підготовка до основного етапу уроку.

    Сформулюйте визначення трикутника. (Трикутник це геометрична фігура, освіти трьома точками, що не лежать на одній прямій, і відрізками, що попарно з'єднують ці точки.)

    Назвіть трикутники. (Кути, сторони, вершини.)

    Назвіть трикутники по сторонах. (Рівносторонній, рівнобедрений, різнобічний.)

    Один із учнів вибирає та показує класу трикутники, заготовлені та лежачі на столі у вчителя.

    Трикутники розрізняються і за кутами. Спробуємо назвати трикутники з кутів. (Інший учень вибирає: гострокутний, тупокутний та прямокутний трикутники.)

    Давайте відповімо на низку запитань:

    Чи може трикутник мати:

    1. два прямі кути;
    2. два тупі кути;
    3. один прямий та один тупий кут?

    До дошці викликається один учень і виконує такі малюнки:

    Далі йде «колективне обговорення». Побудовані промені не перетинаються, отже, трикутник не вийде. Сума односторонніх кутів у першому випадку дорівнює 180 °, у другому і третьому випадку більше, ніж 180 °. У першому випадку прямі паралельні, а у другому та третьому випадку прямі розходяться. Робимо висновок: трикутники не можуть мати два прямі, два тупі. А також у трикутнику не може бути одночасно один тупий і один прямий кути. Слайд 3.

    Знову подивимося на моделі трикутників і зробимо висновок: у прямокутному трикутнику один кут прямий, а два кути гострих, у тупокутному трикутнику один кут тупий, а два гострих, у гострокутному трикутнику всі кути гострі. Але теоретично ми на це питання відповісти не можемо, поки не дізнаємося, чому дорівнює сума кутів трикутника.

    Отже, про трикутник ми знаємо вже досить багато. А як ви вважаєте, чому дорівнює сума кутів будь-якого трикутника? (Заслухати відповіді). Давайте перевіримо, чи правильні ваші припущення за допомогою практичної роботи.

    Практична робота(Сприяє актуалізації знань та навичок самопізнання). (Робота в парах.) Слайди 4-5.

    Кожен з вас має на парті по одному трикутнику різних квітів. Хлопці, ми з вами вимірювали кути та за допомогою транспортира та знаходили їхню суму ще у 5 класі. Сума кутів у всіх виходила різна (так може бути тому, що неточно доклали транспортир, недбало виконали підрахунок і т.д.).

    Я пропоную знайти суму кутів трикутника двома іншими способами: візьміть трикутники, які лежать у вас на парті. Вони жовті або рожевого кольору. Позначте кути трикутника числами 1, 2, 3.

    Учні з жовтими трикутниками: відірвіть два кути трикутника і прикладіть їх до сторін третього кута так, щоб усі вершини були в одній точці. Помічаємо, що це кути трикутника у сумі утворюють розгорнутий кут.

    Учні з рожевими трикутниками: складіть кути усередину трикутника. Зауважимо, що перегинати трикутник треба по прямій паралельній стороні, того кута який ми згинатимемо першим, а даний кут повинен торкатися даної сторони. Помічаємо, що це кути трикутника у сумі утворюють розгорнутий кут.

    Чому дорівнює градусний захід розгорнутого кута?

    Якого висновку ми дійшли?

    Сума кутів трикутника дорівнює 180 градусів.

    Виконавши практичну роботу, ми встановили, що сума кутів трикутника дорівнює 180 градусів.

    У математиці практична роботадає можливість лише зробити якесь твердження, та його треба довести. Твердження, справедливість якого встановлюється шляхом доказу, називається теоремою.

    Яку теорему потрібно довести?

    Сума кутів трикутника дорівнює 180 градусів.

    4. Етап підготовки учнів до активного та свідомого засвоєння нових знань.

    Слайди 6-7.

    Перш ніж довести цю теорему, вирішимо дві задачі усно вони допоможуть нам при доказі теореми:

    5. Етап засвоєння нових знань, умінь, навичок.

    Слайди 8-9

    (Можливі три способи доказу).

    Доказ теореми(Розвиває здатність аналізувати, узагальнювати і робити логічні висновки, використовуючи раніше вивчений матеріал).

    Один учень доводить теорему біля дошки, коментуючи свої дії. Інші учні працюють у зошитах. У разі неточності вчитель проводить коригування.

    Що нам дано?

    Учень: Даний трикутник.

    Вчитель: Побудуйте в зошитах довільний трикутник і позначте його вершини А, В і С. Що потрібно довести?

    Учень: Що сума кутів трикутника дорівнює 180 °.

    Дано: ∆ ABC
    Довести: A+B+C=180°

    План доказу:
    1) Через вершину B проведемо пряму DE|| AC
    2) Довести, що 4 = 1, 5 = 3
    3) Довести, що якщо 4+2+5=180°, значить, 1+2+3=180° або ∆ ABC A+B+C=180°

    Але такий спосіб доказу не єдиний. Перший доказ було дано ще Піфагором (5 ст. до н.е.). У першій книзі «Початку» Евклід викладає інший доказ теореми про суму кутів трикутника. Слайд 10.

    Діти доводять усно:

    Доведення:
    1) Через вершину B проведемо промінь BD|| AC.
    2) 4и 3- навхрест лежать при BD||AC і січній BC.
    3) BD|| AC і AB-секущая, то 1+ABD=180° – односторонні кути.
    4) тоді 1+2+4=180°, тому що 4=3 ,то 1+2+3=180° або A+B+C=180°

    Спробуйте довести вдома цю теорему, використовуючи креслення учнів Піфагора. (Хлопцям лунає аркуш із кресленнями всіх трьох доказів додому.) Слайд 11.

    6. Фізкультхвилинка.

    Слайди 12-14.

    7. Закріплення вивченого матеріалу.

    Тепер, користуючись теоремою, можна обґрунтувати, чому в трикутнику не може бути двох прямих кутів, двох тупих кутів, двох кутів, один з яких тупий, а інший прямий.

    Наслідок з теореми про суму кутів трикутника (виводиться учнями самостійно; це сприяє розвитку вміння формулювати власну точку зору, висловлювати та аргументувати її).

    У будь-якому трикутнику або всі кути гострі, або два гострі кути, а третій тупий або прямий.

    Якщо трикутнику всі кути гострі, він називається гострокутним. Якщо один із кутів трикутника тупий, то він називається тупокутним. Якщо один із кутів трикутника прямий, то він називається прямокутним.

    Усна робота (планшети) Слайд 15.

    Дайте відповідь на запитання: Слайд 16.

    1. Якщо один із кутів трикутника прямий, то які будуть два інші кути?
    2. Якщо трикутник прямокутний, то чому дорівнює сума гострих кутів трикутника?
    3. Якщо один із кутів трикутника тупий, то чому дорівнює сума двох інших кутів трикутника?

      4. 9. Завдання додому.

      1. Роздатковий майріал: три креслення для підтвердження. ( Додаток 1)
      2. П. 30-31, стор 70, №223(а,б), 224, 225, 230

      10. Підсумок уроку.

      Рефлексія:

      Продовжіть фразу:

    • “Сьогодні на уроці я дізнався…”
    • “Сьогодні на уроці я навчився…”
    • "Сьогодні на уроці я познайомився..."
    • “Сьогодні на уроці я повторив…”
    • “Сьогодні на уроці я закріпив…”