Куб, шар, пирамида, цилиндр, конус - геометрические тела. Среди них выделяют многогранники. Многогранником называют геометрическое тело, поверхность которого состоит из конечного числа многоугольников. Каждый из этих многоугольников называется гранью многогранника, стороны и вершины этих многоугольников - соответственно ребрами и вершинами многогранника.

Двугранные углы между соседними гранями, т.е. гранями, име­ющими общую сторону - ребро многогранника - являются так­же и двугранными умами многогранника. Углы многоугольников - граней выпуклого многоугольника - являются плоскими умами многогранника. Кроме плоских и двугранных углов у выпуклого многогранника имеются еще и многогранные углы. Эти углы образу­ют грани, имеющие общую вершину.

Среди многогранников различают призмы и пирамиды.

Призма - это многогранник, поверхность которого состоит из двух равных многоугольников и параллелограммов, имеющих об­щие стороны с каждым из оснований.

Два равных многоугольника называются основаниями ггризмьг, а параллелограммы - ее боковыми гранями. Боковые грани образуют боковую поверхность призмы. Ребра, не лежащие в основаниях, называются боковыми ребрами призмы.

Призму называют п-угольной, если ее основаниями являются я-угольники. На рис. 24.6 изображена четырехугольная призма АВСDА"В"С"D".

Призму называют прямой, если ее боковыми гранями являются прямоугольники (рис. 24.7).

Призму называют правильной , если она прямая, а ее основа­ния - правильные многоугольники.

Четырехугольную призму называют параллелепипедом , если ее основания - параллелограммы.

Параллелепипед называют прямоугольным, если все его грани - прямоугольники.

Диагональ параллелепипеда - это отрезок, соединяющий его противоположные вершины. У параллелепипеда четыре диаго­нали.

Доказано, что диагонали параллелепи­педа пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам. Диагонали прямо­угольного параллелепипеда равны.

Пирамида - это многогранник, по­верхность которого состоит из много­угольника - основания пирамиды, и треугольников, имеющих общую верши­ну, называемых боковыми гранями пи­рамиды. Общая вершина этих треуголь­ников называется вершиной пирамиды, ребра, выходящие из вер­шины, - боковыми ребрами пирамиды.

Перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды на основа­ние, а также длина этого перпендикуляра называется высотой пи­рамиды.

Простейшая пирамида - треугольная или тетраэдр (рис. 24.8). Особенность треугольной пирамиды состоит в том, что любую грань можно рассматривать как основание.

Пирамиду называют правильной, если в основании ее лежит правильный многоугольник, а все боковые ребра равны между собой.

Заметим, что следует различать правильный тетраэдр (т.е. тетра­эдр, у которого все ребра равны между собой) и правильную тре­угольную пирамиду (в ее основании лежит правильный треуголь­ник, а боковые ребра равны между собой, но их длина может от­личаться от длины стороны треугольника, который является ос­нованием призмы).

Различают выпуюше и невыпуклые многогранники. Определить вы­пуклый многогранник можно, если воспользоваться понятием вы­пуклого геометрического тела: многогранник называют выпуклым. если он является выпуклой фигурой, т.е. вместе с любыми двумя своими точками целиком содержит и соединяющий их отрезок.

Можно определить выпуклый многогранник иначе: многогран­ник называют выпуклым, если он полностью лежит по одну сторо­ну от каждого из ограничивающих его многоугольников.

Данные определения равносильны. Доказательство этого факта не приво­дим.

Все многогранники, которые до сих пор рассматривались, были выпуклыми (куб, параллелепипед, призма, пирамида и др.). Многогранник, изображенный на рис. 24.9, выпуклым не является.

Доказано, что в выпуклом многогран­нике все грани являются выпуклыми многоугольниками.

Рассмотрим несколько выпуклых многогранников (таблица 24.1)

Из этой таблицы следует, что для всех рассмотренных выпук­лых многогранников имеет место равенство В - Р + Г = 2. Оказа­лось, что оно справедливо и для любого выпуклого многогранни­ка. Впервые это свойство было доказано Л.Эйлером и получило название теоремы Эйлера.

Выпуклый многогранник называют правильным, если его гра­нями являются равные правильные многоугольники и в каждой вершине сходится одинаковое число граней.

Используя свойство выпуклого многогранного угла, можно до­казать, что различных видов правильных многогранников существу­ет не более пяти.

Действительно, если фан и многогранника - правильные тре­угольники, то в одной вершине их может сходиться 3, 4 и 5, так как 60" 3 < 360°, 60° - 4 < 360°, 60° 5 < 360°, но 60° 6 = 360°.

Если в каждой вершине многофанника сходится три правиль­ных треугольника, то получаем правшш/ый тетраэдр, что в пере­воде с феческого означает «четырехгранник» (рис. 24.10, а).

Если в каждой вершине многогранника сходится четыре пра­вильных треугольника, то получаем октаэдр (рис. 24.10, в). Его поверхность состоит из восьми правильных треугольников.

Если в каждой вершине многогранника сходится пято правиль­ных треугольников, то получаем икосаэдр (рис. 24.10, г). Его поверх­ность состоит из двадцати правильных треугольников.

Если грани многофанника - квадраты, то в одной вершине их может сходиться только три, так как 90° 3 < 360°, но 90° 4 = 360°. Этому условию удовлетворяет только куб. Куб имеет шесть фаней и поэтому называется также гексаэдром (рис. 24.10, б).

Если граани многофанника - правильные пятиугольники, то в одной вершине их может сходиться только фи, так как 108° 3 < 360°, пятиугольники и в каждой вершине сходится три грани, называется додекаэдром (рис. 24.10, д). Его поверхность состоит из двенадцати правильных пятиугольников.

Шестиугольными и более грани многогранника не могут быть, так как даже для шестиугольника 120° 3 = 360°.

В геометрии доказано, что в трехмерном евклидовом простран­стве существует ровно пять различных видов правильных много­гранников’.

Чтобы изготовить модель многогранника, нужно сделать его развертку (точнее развертку его поверхности).

Развертка многогранника - это фигура на плоскости, которая получается, если поверхность многогранника разрезать но некото рым ребрам и развернуть ее так, чтобы все многоугольники, вхо­дящие в эту поверхность, лежали в одной плоскости.

Отметим, что многогранник может иметь несколько различных разверток в зависимости от того, какие ребра мы разрезали. На рисунке 24.11 показаны фиг"уры, которые являются различными развертками правильной четырехугольной пирамиды, т.е. пирами­ды, в основании которой лежит квадрат, а все боковые ребра рав­ны между собой.

Чтобы фигура на плоскости была разверткой выпуклого много­гранника, она должна удовлетворять ряду требований, связанных с особенностями многогранника. Например, фигуры на рис. 24.12 не являются развертками правильной четырехугольной пирамиды: в фигуре, изображенной на рис. 24.12, а, в вершине М сходятся четыре грани, чего не может быть в правильной четырехугольной пирамиде; а в фигуре, изображенной на рис. 24.12, б, боковые ребра А В и ВС не равны.

Вообще, развертку многогранника можно получить путем раз­резания его поверхности не только по ребрам. Пример такой раз­вертки куба приведен на рис. 24.13. Поэтому более точно развертку многогранника можно определить как плоский многоугольник, из которого может быть сделана поверхность этого многогранника без перекрытий.

Тела вращения

Телом вращения называют тело, полученное в результате вра­щения некоторой фигуры (обычно плоской) вокруг прямой. Эту прямую называют осью вращения.

Цилиндр - эго тело, которое получается в результате вращения прямоугольника вокруг одной из его сторон. При этом указанная сто­рона является осью цилиндра. На рис. 24.14 изображен цилиндр с осью ОО’, полученный в результате вращения прямоугольника АА"О"О вокруг прямой ОО". Точки О и О" - центры оснований цилиндра.

Цилиндр, который получается в результате вращения прямо­угольника вокруг одной из его сторон, называют прямым круго­вым цилиндром, так как его основаниями являются два равных круга, расположенных в параллельных плоскостях так, что отре­зок, соединяющий центры кругов, перпендикулярен этим плос­костям. Боковую поверхность цилиндра образуют отрезки, равные стороне прямоугольника, параллельной оси цилиндра.

Разверткой боковой поверхности пря­мого кругового цилиндра, если ее раз­резать по образующей, является прямо­угольник, одна сторона которого равна длине образующей, а другая - длине ок­ружности основания.

Конус - это тело, которое получает­ся в результате вращения прямоугольного треугольника вокруг одного из катетов.

При этом указанный катет неподвижен и называется осью конуса. На рис. 24.15 изображен конус с осью SO, получен­ный в результате вращения прямоуголь­ного треугольника SOA с прямым уг­лом О вокруг катета S0. Точку S называют вершиной конуса, ОА - радиусом его основания.

Конус, который получается в результате вращения прямоуголь­ного треугольника вокруг одного из его катетов, называют пря­мым круговым конусом, гак как его основанием является круг, а вершина проектируется в центр этого круга. Боковую поверхность конуса образуют отрезки, равные гипотенузе треугольника, при вращении которого образуется конус.

Если боковую поверхность конуса разрезать по образующей, то ее можно «развернуть» на плоскость. Разверткой боковой поверх­ности прямого кругового конуса является круговой сектор с ради­усом, равным длине образующей.

При пересечении цилиндра, конуса или любого другого тела вращения плоскостью, содержагцей ось вращения, получается осевое сечение. Осевое сечение цилиндра - прямоугольник, осевое сече­ние конуса - равнобедренный треугольник.

Шар - это тело, которое получается в результате вращения полукруг а вокруг его диаметра. На рис. 24.16 изображен шар, получен­ный в результате вращения полукруга вокруг диаметра АА". Точку О называют центром шара, а радиус круга является радиусом шара.

Поверхность шара называют сферой. Сферу развернуть на плос­кость нельзя.

Любое сечение шара плоскостью есть круг. Радиус сечения шара будет наибольшим, если плоскость проходит через центр шара. Поэтому сечение шара плоскостью, проходящей через центр шара, называют большим кругом шара, а окружность, его ограничиваю­щая, - большой окружностью.

ИЗОБРАЖЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ТЕЛ НА ПЛОСКОСТИ

В отличие от плоских фигур геометрические тела невозможно точно изобразить, например, на листе бумаги. Однако с помощью чертежей на плоскости можно получить достаточно наглядное изоб­ражение пространственных фигур. Для этого используются специ­альные способы изображения таких фигур на плоскости. Одним из них является параллельное проектирование.

Пусть даны плоскость а и пересекающая се прямая а. Возьмем в пространстве произвольную точку Л", не принадлежащую пря­мой а, и проведем через X прямую а", параллельную прямой а (рис. 24.17). Прямая а" пересекает плоскость в некоторой точке X", которая называется параллельной проекцией точки X на плос­кость а.

Если точка А"лежит на прямой а, то се параллельной проекци­ей X" является точка, в которой прямая а пересекает плоскость а.

Если точка X принадлежит плоскости а, то точка X" совпадает с точкой X.

Таким образом, если заданы плоскость а и пересекающая ее прямая а. то каждой точке X пространства можно поставить в соот­ветствие единственную точку А" - параллельную проекцию точки X на плоскость а (при проектировании параллельно прямой а). Плос­кость а называется плоскостью проекций. О прямой а говорят, что она залает направление проектирования - ггри замене прямой а любой другой параллельной ей прямой результат проектирования не изменится. Все прямые, параллельные прямой а, задаюз одно и то же направ­ление проектирования и называются вместе с прямой а проектирующими прямыми.

Проекцией фигуры F называют мно­жество F‘ проекцией всех се точек. Ото­бражение, сопоставляющее каждой точ­ке X фигуры F "ее параллельную проек­цию - точку X" фигуры F", называется параллельным проектированием фигуры F (рис. 24.18).

Параллельной проекцией реального предмета является его тень, падающая на плоскую поверхность при солнечном освещении, поскольку солнечные лучи можно считать параллельными.

Параллельное проектирование обладает рядом свойств, знание которых необходимо при изображении геометрических тел на плоскости. Сформулируем основные, не приводя их доказательства.

Теорема 24.1. При параллельном проектировании для прямых, не параллельных направлению проектирования, и для лежащих на них отрезков выполняются следующие свойства:

1) проекция прямой есть прямая, а проекция отрезка - отрезок;

2) проекции параллельных прямых параллельны или совпадают;

3) отношение длин проекций отрезков, лежащих на одной прямой или на параллельных прямых, равно отношению длин самих отрезков.

Из этой теоремы вытекает следствие: при параллельном про­ектировании середина отрезка проектируется в середину его про­екции.

При изображении геометрических тел на плоскости необходи­мо следить за выполнением указанных свойств. В остальном оно может быть произвольным. Так, углы и отношения длин непарал­лельных отрезков могут изменяться произвольно, т.е., например, треугольник при параллельном проектировании изображается про­извольным треугольником. Но если треугольник равносторонний, то па проекции его медианы должны соединять вершину треуголь­ника с серединой противоположной стороны.

И еще одно требование необходимо соблюдать при изображе­нии пространственных тел на плоскости - способствовать созда­нию верного представления о них.

Изобразим, например, наклонную призму, основаниями кото­рой являются квадраты.

Построим сначала нижнее основание призмы (можно начинать и с верхнего). По правилам параллельного проектирования огго изобразится произвольным параллелограммом АВСD (рис. 24.19, а). Так как ребра призмы параллельны, строим параллельные пря­мые, проходящие через вершины построенного параллелограмма и откладываем на них равные отрезки АА", ВВ’, СС", DD", длина которых произвольна. Соединив последовательно точки А", В", С", D", получим четырехугольник А"В"С"D", изображающий верхнее основание призмы. Нетрудно доказать, что А"В"С"D" - паралле­лограмм, равный параллелограмму АВСD и, следовательно, мы имеем изображение призмы, основаниями которой являются рав­ные квадраты, а остальные грани - параллелограммы.

Если нужно изобразить прямую призму, основаниями которой являются квадраты, то показать, что боковые ребра этой призмы перпендикулярны основанию, можно так, как это сделано на рис. 24.19, б.

Кроме тог о, чертеж на рис. 24.19, б можно считать изображени­ем правильной призмы, так как ее основанием является квадрат - правильный четырехугольник, а также - прямоугольным парал­лелепипедом, поскольку все его грани - прямоугольники.

Выясним теперь, как изобразить на плоскости пирамиду.

Чтобы изобразить правильную пирамиду, сначала чертят пра­вильный многоугольник, лежащий в основании, и его центр - точку О. Затем проводят вертикальный отрезок OS, изображаю­щий высоту пирамиды. Заметим, что вертикальность отрезка OS обеспечивает большую наглядность рисунка. И наконец, точку S соединяют со всеми вершинами основания.

Изобразим, например, правильную пирамиду, основанием ко­торой является правильный шестиугольник.

Чтобы верно изобразить при параллельном проектировании правильный шестиугольник, надо обратить внимание на следующее. Пусть АВСDЕF - правильный шестиугольник. Тогда ВСЕF - прямоугольник (рис. 24.20) и, значит, при параллельном проектировании он изобра­зится произвольным параллелограммом В"С"Е"F". Так как диагональ АD проходит через точку О - центр многоугольника АВСDЕF и параллельна отрезкам. ВС и ЕF и АО= ОD, то при параллельном проектировании она изобразится произвольным от­резком А"D", проходящим через точку О" параллельно В"С" и Е"F" и, кроме того, А"О" = О"D".

Таким образом, последовательность построения основания ше­стиугольной пирамиды такова (рис. 24.21):

§ изображают произвольный параллелограмм В"С"Е"F" и его диагонали; отмечают точку их пересечения O";

§ через точку О" проводят прямую, параллельную В’С" (или Е"F’);

§ на построенной прямой выбирают произвольную точку А" и отмечают точку D" такую, что О"D" = А"О", и соединяют точку А" с точками В" и F ", а точку D" - с точками С" и Е".

Чтобы завершить построение пирамиды, проводят вертикаль­ный отрезок ОS (его длина выбирается произвольно) и соединя­ют точку S со всеми вершинами основания.

При параллельном проектировании шар изображается в виде круга того же радиуса. Чтобы сделать изображение шара более на­глядным, рисуют проекцию какой-нибудь большой окружности, плоскость которой не перпендикулярна плоскости проекции. Эта проекция будет эллипсом. Центр шара изобразится центром этого эллипса (рис. 24.22). Теперь можно найти соответствующие полюсы N и S при условии, что отрезок, их соединяющий, перпендикуля­рен плоскости экватора. Для этого через точку О проводим пря­мую, перпендикулярную АВ и отмечаем точку С - пересечение этой прямой с эллипсом; затем через точку С проводим касатель­ную к эллипсу, изображающему экватор. Доказано, что расстоя­ние СМ равно расстоянию от центра шара до каждого из полюсов. Поэтому, отложив отрезки ОN и OS, равные СМ, получим полю­сы N и S.

Рассмотрим один из приемов построения эллипса (он основан на преобразовании плоскости, которое называется сжатием): строят окружность с диаметром и проводят хорды, перпендикулярные диаметру (рис. 24.23). Половину каждой из хорд делят пополам и полученные точки соединяют плавной кривой. Эта кривая - эл­липс, большой осью которого является отрезок АВ, а центром - точка О.

Этот прием мЬжно использовать, изображая на плоскости пря­мой круговой цилиндр (рис. 24.24) и прямой круговой конус (рис. 24.25).

Прямой круговой конус изображают так. Сначала строят эл­липс - основание, затем находят центр основания - точку О и перпендикулярно проводят отрезок OS, который изображает вы­соту конуса. Из точки S проводят к эллипсу касательные (это дела­ют «на глаз», прикладывая линейку) и выделяют отрезки SС и SD этих прямых от точки S до точек касания С и D. Заметим, что отрезок СD не совпадает с диаметром основания конуса.

Введение

Поверхность, составленную из многоугольников и ограничивающую некоторые геометрическое тело, называют многогранной поверхностью или многогранником.

Многогранником называется ограниченное тело, поверхность которого состоит из конечного числа многоугольников. Многоугольники, которые ограничивают многогранник, называются гранями, линии пересечения граней называются ребрами.

Многогранники могут иметь разнообразное и очень сложное строение. Различные постройки, например строящиеся дома из кирпичей и бетонных блоков, представляют собой примеры многогранников. Другие примеры можно найти среди мебели, например стол. В химии форма молекул углеводорода представляет собой тетраэдр, правильного двадцатигранника, куб. В физики примером многогранников служат кристаллы.

С древнейших времен представления о красоте связывали с симметрией. Наверное, этим объясняется интерес человека к многогранникам - удивительным символам симметрии, привлекавшим внимание выдающихся мыслителей, которых поражала красота, совершенство, гармония этих фигур.

Первые упоминания о многогранниках известны еще за три тысячи лет до нашей эры в Египте и Вавилоне. Достаточно вспомнить знаменитые египетские пирамиды и самую известную из них – пирамиду Хеопса. Это правильная пирамида, в основании которой квадрат со стороной 233 м и высота которой достигает 146,5 м. Не случайно говорят, что пирамида Хеопса – немой трактат по геометрии.

История правильных многогранников уходит в глубокую древность. Начиная с 7 века до нашей эры в Древней Греции создаются философские школы, в которых происходит постепенный переход от практической к философской геометрии. Большое значение в этих школах приобретают рассуждения, с помощью которых удалось получать новые геометрические свойства.

Одной из первых и самых известных школ была Пифагорейская, названная в честь своего основателя Пифагора. Отличительным знаком пифагорейцев была пентаграмма, на языке математики - это правильный невыпуклый или звездчатый пятиугольник. Пентаграмме присваивалось способность защищать человека от злых духов.

Пифагорейцы полагали, что материя состоит из четырех основных элементов: огня, земли, воздуха и воды. Существование пяти правильных многогранников они относили к строению материи и Вселенной. Согласно этому мнению, атомы основных элементов должны иметь форму различных тел:

§ Вселенная - додекаэдр

§ Земля - куб

§ Огонь - тетраэдр

§ Вода - икосаэдр

§ Воздух - октаэдр

Позже учение пифагорейцев о правильных многогранниках изложил в своих трудах другой древнегреческий ученый, философ - идеалист Платон. С тех пор правильные многогранники стали называться Платоновыми телами.

Платоновыми телами называются правильные однородные выпуклые многогранники, то есть выпуклые многогранники, все грани и углы которых равны, причем грани - правильные многоугольники. К каждой вершине правильного многогранника сходится одно и то же число рёбер. Все двугранные углы при рёбрах и все многогранные углы при вершинах правильного многоугольника равны. Платоновы тела - трехмерный аналог плоских правильных многоугольников.

Теория многогранников является современным разделом математики. Она тесно связана с топологией, теорией графов, имеет большое значение как для теоретических исследований по геометрии, так и для практических приложений в других разделах математики, например, в алгебре, теории чисел, прикладной математики - линейном программировании, теории оптимального управления. Таким образом, данная тема является актуальной, а знания по данной проблематике – важными для современного общества.

Основная часть

Многогранникомназывается ограниченное тело, поверхность которого состоит из конечного числа многоугольников.

Приведем определение многогранника, равносильное первому определению многогранника.

Многогранник– это фигура, являющаяся объединением конечного числа тетраэдров, для которых выполнены следующие условия:

1) каждые два тетраэдра не имеют общих точек, либо имеют общую вершину, либо только общее ребро, либо целую общую грань;

2) от каждого тетраэдра к другому можно перейти по цепочке тетраэдра, в которой каждый последующий прилегает к предыдущему по целой грани.

Элементы многогранника

Грань многогранника – это некоторый многоугольник (многоугольником называется ограниченная замкнутая область, граница которой состоит из конечного числа отрезков).

Стороны граней называются ребрами многогранника, а вершины граней – вершинамимногогранника. К элементам многогранника, кроме его вершин, ребер и граней, относятся также плоские углы его граней и двугранные углы при его ребрах. Двугранный угол при ребре многогранника определяется его гранями, подходящими к этому ребру.

Классификация многогранников

Выпуклый многогранник - это многогранник, любые две точки которого соединимы в нем отрезком. Выпуклые многогранники обладают многими замечательными свойствами.

Теорема Эйлера. Для любого выпуклого многогранника В-Р+Г=2,

Где В – число его вершин, Р - число его ребер, Г - число его граней.

Теорема Коши. Два замкнутых выпуклых многогранника, одинаково составленные из соответственно равных граней равны.

Выпуклый многогранник считается правильным, если все его грани – равные правильные многоугольники и в каждой его вершине сходиться одно и то же число ребер.

Правильный многогранник

Многогранник называется правильным, если, во-первых, он выпуклый, во-вторых, все его грани - равные друг другу правильные многоугольники, в-третьих, в каждой его вершине сходятся одинаковое число граней, и, в-четвертых, все его двугранные углы равны.

Существует пять выпуклых правильных многогранников - тетраэдр, октаэдр и икосаэдр с треугольными гранями, куб (гексаэдр) с квадратными гранями и додекаэдр с пятиугольными гранями. Доказательство этого факта известно уже более двух тысяч лет; этим доказательством и изучением пяти правильных тел завершаются "Начала" Евклида (древнегреческий математик, автор первых дошедших до нас теоретических трактатов по математике). Почему правильные многогранники получили такие имена? Это связано с числом их граней. Тетраэдр имеет 4 грани, в переводе с греческого "тетра" - четыре, "эдрон" - грань. Гексаэдр (куб) имеет 6 граней, "гекса" - шесть; октаэдр - восьмигранник, "окто" - восемь; додекаэдр - двенадцатигранник, "додека" - двенадцать; икосаэдр имеет 20 граней, "икоси" - двадцать.

2.3. Типы правильных многогранников:

1) Правильный тетраэдр (составлен из четырех равносторонних треугольников. Каждая его вершина является вершиной трех треугольник. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 180 0);

2) Куб - параллелепипед, все грани которого – квадраты. Куб составлен из шести квадратов. Каждая вершина куба является вершиной трех квадратов. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 270 0 .

3) Правильный октаэдр или просто октаэдр – многогранник, у которого восемь правильных треугольных граней и в каждой вершине сходятся по четыре грани. Октаэдр составлен из восьми равносторонних треугольников. Каждая вершина октаэдра является вершиной четырех треугольников. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 240 0 . Его можно построить, сложив основаниями две пирамиды, в основании которых квадраты, а боковые грани - правильные треугольники. Ребра октаэдра можно получить, соединяя центры соседних граней куба, если же соединить центры соседних граней правильного октаэдра, то получим ребра куба. Говорят, что куб и октаэдр двойственны друг другу.

4)Икосаэдр - составлен из двадцати равносторонних треугольников. Каждая вершина икосаэдра является вершиной пяти треугольников. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 300 0 .

5) Додекаэдр - многогранник, составленный из двенадцати правильных пятиугольников. Каждая вершина додекаэдра является вершиной трех правильных пятиугольников. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 324 0 .

Додекаэдр и икосаэдр тоже двойственны друг другу в том смысле, что, соединив отрезками центры соседних граней икосаэдра, мы получим додекаэдр, и наоборот.

Правильный тетраэдр двойственен сам себе.

При этом не существует правильного многогранника, гранями которого являются правильные шестиугольники, семиугольники и вообще n-угольники при n ≥ 6.

Правильным многогранником называется многогранник, у которого все грани правильные равные многоугольники, и все двугранные углы равны. Но есть и такие многогранники, у которых все многогранные углы равны, а грани - правильные, но разноименные правильные многоугольники. Многогранники такого типа называются равноугольно-полуправильными многогранниками. Впервые многогранники такое типа открыл Архимед. Им подробно описаны 13 многогранников, которые позже в честь великого ученого были названы телами Архимеда. Это усеченный тетраэдр, усеченный оксаэдр, усеченный икосаэдр, усеченный куб, усеченный додекаэдр, кубооктаэдр, икосододекаэдр, усеченный кубооктаэдр усеченный икосододекаэдр, ромбокубооктаэдр, ромбоикосододекаэдр, "плосконосый" (курносый) куб, "плосконосый" (курносый) додекаэдр.

2.4. Полуправильные многогранники или Архимедовы тела - выпуклые многогранники, обладающие двумя свойствами:

1. Все грани являются правильными многоугольниками двух или более типов (если все грани - правильные многоугольники одного типа, это - правильный многогранник).

2. Для любой пары вершин существует симметрия многогранника (то есть движение переводящее многогранник в себя) переводящая одну вершину в другую. В частности все многогранные углы при вершинах конгруэнтны.

Кроме полуправильных многогранников из правильных многогранников - Платоновых тел, можно получить так называемые правильные звездчатые многогранники. Их всего четыре, они называются также телами Кеплера-Пуансо. Кеплер открыл малый додекаэдр, названный им колючим или ежом, и большой додекаэдр. Пуансо открыл два других правильных звездчатых многогранника, двойственных соответственно первым двум: большой звездчатый додекаэдр и большой икосаэдр.

Два тетраэдра, прошедших один сквозь другой, образуют восьмигранник. Иоганн Кеплерприсвоил этой фигуре имя «стелла октангула» - «восьмиугольная звезда». Она встречается и в природе: это так называемый двойной кристалл.

В определении правильного многогранника сознательно - в расчете на кажущуюся очевидность - не было подчеркнуто слово «выпуклый». А оно означает дополнительное требование: «и все грани, которого лежат по одну сторону от плоскости, проходящей через любую из них». Если же отказаться от такого ограничения, то к Платоновым телам, кроме «продолженного октаэдра», придется добавить еще четыре многогранника (их называют телами Кеплера - Пуансо), каждый из которых будет «почти правильным». Все они получаются «озвездыванием» Платонова тела, то есть продлением его граней до пересечения друг с другом, и потому называются звездчатыми. Куб и тетраэдр не порождают новых фигур - грани их, сколько ни продолжай, не пересекаются.

Если же продлить все грани октаэдра до пересечения их друг с другом, то получится фигура, что возникает при взаимопроникновении двух тетраэдров - «стелла октангула», которая называется «продолженным октаэдром».

Икосаэдр и додекаэдр дарят миру сразу четыре «почти правильных многогранника». Один из них - малый звездчатый додекаэдр, полученный впервые Иоганном Кеплером.

Столетиями математики не признавали за всякого рода звездами права называться многоугольниками из-за того, что стороны их пересекаются. Людвиг Шлефли не изгонял геометрическое тело из семейства многогранников только за то, что его грани самопересекаются, тем не менее, оставался непреклонным, как только речь заходила про малый звездчатый додекаэдр. Довод его был прост и весом: это кеплеровское животное не подчиняется формуле Эйлера! Его колючки образованы двенадцатью гранями, тридцатью ребрами и двенадцатью вершинами, и, следовательно, В+Г-Р вовсе не равняется двойке.

Шлефли был и прав, и не прав. Конечно же, геометрический ежик не настолько уж колюч, чтобы восстать против непогрешимой формулы. Надо только не считать, что он образован двенадцатью пересекающимися звездчатыми гранями, а взглянуть на него как на простое, честное геометрическое тело, составленное из 60 треугольников, имеющее 90 ребер и 32 вершины.

Тогда В+Г-Р=32+60-90 равно, как и положено, 2. Но зато тогда к этому многограннику неприменимо слово «правильный» - ведь грани его теперь не равносторонние, а всего лишь равнобедренные треугольники. Кеплер не додумался, что у полученной им фигуры есть двойник.

Многогранник, который называется «большой додекаэдр» - построил французский геометр Луи Пуансо спустя двести лет после кеплеровских звездчатых фигур.

Большой икосаэдрбыл впервые описан Луи Пуансо в 1809 году. И опять Кеплер, увидев большой звездчатый додекаэдр, честь открытия второй фигуры оставил Луи Пуансо. Эти фигуры также наполовину подчиняются формуле Эйлера.

Практическое применение

Многогранники в природе

Правильные многогранники – самые выгодные фигуры, поэтому они широко распространены в природе. Подтверждением тому служит форма некоторых кристаллов. Например, кристаллы поваренной соли имеют форму куба. При производстве алюминия пользуются алюминиево-калиевыми кварцами, монокристалл которых имеет форму правильного октаэдра. Получение серной кислоты, железа, особых сортов цемента не обходится без сернистого колчедана. Кристаллы этого химического вещества имеют форму додекаэдра. В разных химических реакциях применяется сурьменистый сернокислый натрий – вещество, синтезированное учёными. Кристалл сурьменистого сернокислого натрия имеет форму тетраэдра. Последний правильный многогранник – икосаэдр передаёт форму кристаллов бора.

Звездчатые многогранники очень декоративны, что позволяет широко применять их в ювелирной промышленности при изготовлении всевозможных украшений. Применяются они и в архитектуре. Многие формы звездчатых многогранников подсказывает сама природа. Снежинки - это звездчатые многогранники. С древности люди пытались описать все возможные типы снежинок, составляли специальные атласы. Сейчас известно несколько тысяч различных типов снежинок.

Правильные многогранники встречаются так же и в живой природе. Например, скелет одноклеточного организма феодарии (Circjgjnia icosahtdra) по форме напоминает икосаэдр. Большинство феодарий живут на морской глубине и служат добычей коралловых рыбок. Но простейшее животное защищает себя двенадцатью иглами, выходящими из 12 вершин скелета. Оно больше похоже на звёздчатый многогранник.

Также мы можем наблюдать многогранники в виде цветов. Ярким примером могут служить кактусы.

Похожая информация.

- (определение ) геометрическое тело, ограниченное со всех сторон плоскими многоугольниками - гранями .

Примеры многогранников:

Стороны граней называются ребрами, а концы ребер - вершинами. По числу граней различают 4-гранники, 5-гранники и т.д. Многогранник называется выпуклым , если он весь расположен по одну сторону от плоскости каждой его грани. Многогранник называется правильным , если его грани правильные многоугольники (т.е. такие, у которых все стороны и углы равны) и все многогранные углы при вершинах равны. Существует пять видов правильных многогранников: тетраэдр , куб , октаэдр , додекаэдр , икосаэдр .

Многогранник в трехмерном пространстве (понятие многогранника) - совокупность конечного числа плоских многоугольников такая, что

1) каждая сторона одного является одновременно стороной другого (но только одного), называемого смежным с первым (по этой стороне);

2) от любого из многоугольников, составляющих многогранник, можно дойти до любого из них, переходя к смежному с ним, а от этого в свою очередь - к смежному с ним, и т.д.

Эти многоугольники называются гранями , их стороны ребрами , а их вершины - вершинами многогранника.

Вершины многогранника

Ребра многогранника

Грани многогранника

Многогранник называется выпуклым, если он лежит по одну сторону от плоскости любой его грани.

Из этого определения следует, что все грани выпуклого многогранника являются плоскими выпуклыми многоугольниками. Поверхность выпуклого многогранника состоит из граней, которые лежат в разных плоскостях. При этом ребрами многогранника являются стороны многоугольников, вершинами многогранника – вершины граней, плоскими углами многогранника – углы многоугольников – граней.

Выпуклый многогранник, все вершины которого лежат в двух параллельных плоскостях, называется призматоидом . Призма, пирамида и усеченная пирамида – частные случаи призматоида. Все боковые грани призматоида являются треугольниками или четырехугольниками, причем четырехугольные грани – это трапеции или параллелограммы.

Правильным многогранником называется выпуклый многогранник, грани которого - равные правильные многоугольники, а двугранные углы при всех вершинах равны между собой. Доказано, что в каждой из вершин правильного многогранника сходится одно и то же число граней и одно и то же число ребер.

Всего в природе существует пять правильных многогранников. По сравнению с количеством правильных многоугольников это - очень мало: для каждого целого n>2 существует один правильный n-угольник, т.е. правильных многоугольников - бесконечно много. Правильные многогранники имеют названия по числу граней: тетраэдр (4 грани): гексаэдр (6 граней), октаэдр (8граней), додекаэдр (12 граней) и икосаэдр (20 граней). По-гречески "хедрон" означает грань, "тетра", "гекса" и т. д. - указанные числа граней. Нетрудно догадаться, что гексаэдр есть не что иное, как всем знакомый куб. Грани тетраэдра, октаэдра и икосаэдра - правильные треугольники, куба - квадраты, додекаэдра - правильные пятиугольники.

Многогранник называется выпуклым , если он весь лежит по одну сторону от плоскости любой его грани; тогда грани его тоже выпуклы. Выпуклый многогранник разрезает пространство на две части -- внешнюю и внутреннюю. Внутренняя его часть есть выпуклое тело. Обратно, если поверхность выпуклого тела многогранная, то соответствующий многогранник -- выпуклый.

Ни одни геометрические тела не обладают таким совершенством и красотой, как правильные многогранники. «Правильных многогранников вызывающе мало», - написал когда-то Л. Кэролл, - но этот весьма скромный по численности отряд сумел пробраться в самые глубины различных наук.

Каково же это вызывающе малое количество и почему их именно столько. А сколько? Оказывается, ровно пять - ни больше, ни меньше. Подтвердить это можно с помощью развертки выпуклого многогранного угла. В самом деле, для того чтобы получить какой-нибудь правильный многогранник согласно его определению, в каждой вершине должно сходиться одинаковое количество граней, каждая из которых является правильным многоугольником. Сумма плоских углов многогранного угла должна быть меньше 360, иначе никакой многогранной поверхности не получится. Перебирая возможные целые решения неравенств: 60к < 360, 90к < 360 и 108к < 360, можно доказать, что правильных многогранников ровно пять (к - число плоских углов, сходящихся в одной вершине многогранника).

Названия правильных многогранников пришли из Греции. В дословном переводе с греческого "тетраэдр", "октаэдр", "гексаэдр", "додекаэдр", "икосаэдр" означают: "четырехгранник", "восьмигранник", "шестигранник", "двенадцатигранник", "двадцатигранник". Этим красивым телам посвящена 13-я книга "Начал" Евклида. Их еще называют телами Платона, т.к. они занимали важное место в философской концепции Платона об устройстве мироздания. Четыре многогранника олицетворяли в ней четыре сущности или "стихии". Тетраэдр символизировал огонь, т.к. его вершина устремлена вверх; икосаэдр - воду, т.к. он самый "обтекаемый"; куб - землю, как самый "устойчивый"; октаэдр - воздух, как самый "воздушный". Пятый многогранник, додекаэдр, воплощал в себе "все сущее", символизировал все мироздание, считался главным.

Если нанести на глобус очаги наиболее крупных и примечательных культур и цивилизаций Древнего мира, можно заметить закономерность в их расположении относительно географических полюсов и экватора планеты. Многие залежи полезных ископаемых тянутся вдоль икосаэдрово-додекаэдровой сетки. Еще более удивительные вещи происходят в местах пересечения этих ребер: тут располагаются очаги древнейших культур и цивилизаций: Перу, Северная Монголия, Гаити, Обская культура и другие. В этих точках наблюдаются максимумы и минимумы атмосферного давления, гигантские завихрения Мирового океана, здесь шотландское озеро Лох-Несс, Бермудский треугольник. Дальнейшие исследования Земли, возможно, определят отношение к этой красивой научной гипотезе, в которой, как видно, правильные многогранники занимают важное место.

Итак, было выяснено, что правильных многогранников ровно пять. А как определить в них количество ребер, граней, вершин? Это нетрудно сделать для многогранников с небольшим числом ребер, а как, например, получить такие сведения для икосаэдра? Знаменитый математик Л. Эйлер получил формулу В+Г-Р=2, которая связывает число вершин /В/, граней /Г/ и ребер /Р/ любого многогранника. Простота этой формулы заключается в том, что она не связана ни с расстоянием, ни с углами. Для того чтобы определить число ребер, вершин и граней правильного многогранника, найдем сначала число к=2у - ху+2х, где х - число ребер, принадлежащих одной грани, у - число граней, сходящихся в одной вершине.

Итак, правильные многогранники открыли нам попытки ученых приблизиться к тайне мировой гармонии и показали неотразимую привлекательность геометрии.

Список правильных многогранников

Существует всего пять правильных многогранников:

Изображение	Тип правильного многогранника	Число сторон у грани	Число рёбер, примыкающих к вершине	Общее число вершин	Общее число рёбер	Общее число граней
	Тетраэдр
	Додекаэдр
	Икосаэдр

Мир наш исполнен симметрии. С древнейших времен с ней связаны наши представления о красоте. Наверное, этим объясняется непреходящий интерес человека к многогранникам - удивительным символам симметрии, привлекавшим внимание множества выдающихся мыслителей, от Платона и Евклида до Эйлера и Коши.

Впрочем, многогранники - отнюдь не только объект научных исследований. Их формы - завершенные и причудливые, широко используются в декоративном искусстве. Обычно модели многогранников конструируют из разверток. Но есть и другой способ.

Математики давно уже доказали возможность построения трехмерных объектов из ленты. На рис. 1 показано, как получить тетраэдр, перегибая бумажную ленту по сторонам расчерченных на ней равносторонних треугольников.

Рис. 1

Аналогичным способом можно свернуть куб (рис. 2). Его грани также выстраиваются в цепочку, а чтобы изменить направление ленты для завершения формообразования, достаточно перегнуть ее по диагонали квадрата.

Рис. 2

Так, ничем на первый взгляд не примечательная бумажная лента при нанесении на ее поверхность узора превращается в заготовку для построения самых разнообразных многогранников. На основе различных узоров можно создать все правильные многогранники, кроме додекаэдра. Это объясняется отсутствием у плоских узоров осей симметрии 5-го, 7-го и высших порядков - иначе говоря, сплошной узор из пятиугольников построить невозможно.

Рис.3

Построение октаэдра и икосаэдра осуществляется на основе узора из правильных треугольников (рис. 3 и рис. 4). Свернув для октаэдра кольцо из шести, а для икосаэдра - из десяти треугольников, перегибаем ленту в обратную сторону и продолжаем сворачивать такие же кольца.

Рис.4

Узоры наших лент - это частный случай сетей симметрии Шубникова - Лавеса (см. рис. 5). Треугольные ячейки получаются наложением двух пар зеркальных гексагональных решеток, развернутых друг относительно друга на 90°, а квадратные - совмещением квадратных решеток под углом 45° друг к другу. С этих позиций процесс образования многогранников из фокуса превращается в теоретически обоснованное и закономерное явление.

Рис. 5

В самом деле, когда сворачивается кольцо будущего многогранника, то в буквальном смысле производится перенос элементарной ячейки решетки на определенный шаг, то есть осуществляется переносная симметрия. Меняя направление формообразования за счет перегиба ленты в обратную сторону, производим мысленный поворот ячейки вокруг узла решетки, то есть проявляется уже симметрия поворотная. Стало быть, заготовка из ленты обеспечивает поворотно-переносную симметрию. Такая поворотно-переносная симметрия в наших построениях может осуществляться с углами поворотов; 30° 45°, 60°, 90°, 120°, 150°, 180°. В этом и состоит весь секрет способа образования из плоской ленты объемных тел.

Таким образом, ясно, что могут существовать только два типа лент с углами разбивки, кратными 30° и 45°. Из них получается четыре правильных многогранника: куб, октаэдр, тетраэдр, икосаэдр - и целое семейство однородных многогранников (см. рис. 6). В прекрасном сочинении Иоганна Кеплера "О шестиугольных снежинках" есть очень меткое замечание: "Среди правильных тел первым по праву считается куб, первозданная фигура, отец всех остальных тел, Октаэдр, имеющий столько же вершин, сколько у куба граней, является как бы его супругой..." Действительно, все элементы образующихся из нашей ленты сложных форм являются элементами куба или октаэдра, либо того и другого вместе.

Рис.6

многогранник тетраэдр куб октаэдр додекаэдр икосаэдр

Построение простых многогранников не представляет особых затруднений. Но чтобы сложить из ленты сложные звездчатые формы, понадобятся специальные приспособления для удержания еще не соединенных между собой колец - скрепки, зажимы и тому подобное. Создание оригинальных по своей форме многогранников чрезвычайно занимательно самим процессом формообразования.

Тетраэдр в переводе с древнегреческого четырёхгранник. Это простейший многогранник, гранями которого являются.

У тетраэдра 4 грани, 4 вершины и 6 рёбер. Грани – равносторонние треугольники. В каждой его вершине сходится три угла. Сумма этих углов при каждой вершине равна 180º.



Октаэдр

В переводе с греческого οκτάεδρον (οκτώ - «восемь » и έδρα - «основание ») - многогранник с восемью гранями. Грани правильного октаэдра - . Октаэдр имеет 6 вершин и 12 рёбер. В каждой вершине сходятся 4 треугольника, поэтому сумма углов при каждой вершине октаэдра составляет 240°.

Куб в переводе с древне-греческого κύβος2 или правильный гексаэдр («правильный шестигранник » от древнегреческого ἑξάς- «шесть » и ἕδρα - «седалище, основание ») - правильный многогранник, каждая грань которого представляет собой.

Число сторон у грани – 4; общее число граней – 6; число рёбер примыкающих к вершине – 3; общее число вершин – 8; общее число рёбер – 12. Сумма углов при каждой вершине 90º + 90º + 90º = 270º

Додекаэдр от древнегреческого δώδεκα - «двенадцать » и εδρον - «грань ». Додекаэдр составлен из двенадцати правильных пятиугольников, являющихся его гранями.

Каждая вершина додекаэдра является вершиной. Таким образом, додекаэдр имеет 12 граней (пятиугольных), 30 рёбер и 20 вершин (в каждой сходятся 3 ребра). Сумма углов при каждой вершине 108º + 108º + 108º = 324º

Икосаэдр от древнегреческого εἴκοσι «двадцать »; ἕδρον «сидение », «основание »- правильный выпуклый многогранник, двадцатигранник. Каждая из 20 граней представляет собой равносторонний треугольник.

Число ребер равно 30, число вершин - 12. Икосаэдр имеет 59 звёздчатых форм. Леонардом Эйлером в 1750 году была впервые выведена формула связывающая число вершин (В), граней (Г) и рёбер (Р) любого выпуклого многогранника простым соотношением: В + Г = Р + 2.

Таблица 1

Правильные многогранники с древних времен привлекали к себе внимание ученых, архитекторов, художников. Их поражала красота, совершенство, гармония этих многогранников.

Леонардо да Винчи увлекался теорией многогранников и часто изображал их на своих полотнах. Он проиллюстрировал книгу монаха Луки Пачоли «О божественной пропорции ».

Другим знаменитым художником, также увлекавшимся геометрией был Альбрехт Дюрер. В своей гравюре «Меланхолия » он дал перспективное изображение додекаэдра.

Немецкий астроном и математик Иоганн Кеплер в своей работе, используя правильные многогранники, вывел принцип, которому подчиняются формы и размеры планет Солнечной системы. Такая модель получила модель «Космического кубка » Кеплера.

Знаменитая картина Сальвадора Дали «Тайная вечеря » содержит перспективное изображение правильного додекаэдра.