В зависимости от числа возможных стратегий игры делятся на "конечные" и "бесконечные".

Конечной называется игра, в которой у каждого игрока имеется только конечное число стратегий.

Конечная игра, в которой игрок А имеет m стратегий, а игрок В - n стратегий, называется игрой m´n .

Рассмотрим игру m´n двух игроков А и В ("мы" и "противник").

Будем обозначать наши стратегии A 1 , А 2 ,…, А m ; стратегии противника - B 1 , В 2 ,..., В n .

Пусть каждая сторона выбрала определенную стратегию; для нас это будет А i для противника. В j .

Если игра состоит только из личных ходов, то выбор стратегий A i , В j однозначно определяет исход игры - наш выигрыш. Обозначим его a ij .

Если игра содержит, кроме личных, случайные ходы, то выигрыш при паре стратегий А i , В j есть величина случайная, зависящая от исходов всех случайных ходов. В этом случае естественной оценкой ожидаемого выигрыша является его среднее значение (математическое ожидание). Мы будем обозначать одним и тем же знаком a ij как сам выигрыш (в игре без случайных ходов), так и его среднее значение (в игре со случайными ходами).

Пусть нам известны значения a ij выигрыша (или среднего выигрыша) при каждой паре стратегий. Значения a ij можно записать в виде прямоугольной таблицы (матрицы), строки которой соответствуют нашим стратегиям (A i ), а столбцы - стратегиям противника (В j ). Такая таблица называется платежной матрицей или просто матрицей игры.

Матрица игры (платежная матрица) - таблица, в которой заданы стратегии игроков и платежи.

Матрица игры m´n имеет вид:

А В	B 1	B 2	…	B n
A 1	a 11	a 12	…	a 1 n
A 2	a 21	a 22	…	a 2 n
…	…	…	…	…
A m	a m1	a m2	…	a mn

Сокращенно мы будем обозначать матрицу игры

Рассмотрим несколько элементарных примеров игр.

Пример 1 . Два игрока А и В , не глядя друг на друга, кладут на стол по монете вверх гербом или вверх цифрой, по своему усмотрению. Если игроки выбрали одинаковые стороны (у обоих герб или у обоих цифра), то игрок А забирает обе монеты; иначе их забирает игрок В . Требуется проанализировать игру и составить ее матрицу.

Решение. Игра состоит только из двух ходов: наш ход и ход противника, оба личные. Игра не принадлежит к играм с полной информацией, так как в момент хода выполняющий его игрок не знает, что сделал другой.

Так как у каждого из игроков имеется только один личный ход, то стратегия игрока представляет собой выбор при этом единственном личном ходе.

У нас две стратегии: А 1 - выбирать герб и А 2 - выбирать цифру; у противника такие же две стратегии: В 1 герб и В 2 - цифра. Таким образом, данная игра есть игра 2´2. Будем считать выигрыш монеты за +1 . Матрица игры приведена ниже:

А В	B 1 (Г)	B 2 (Ц)
A 1 (Г)		–1
A 2 (Ц)	–1

На примере этой игры, как она ни элементарна, можно уяснить себе некоторые существенные идеи теории игр.

Предположим сначала, что данная игра выполняется только один раз. Тогда, очевидно, бессмысленно говорить о каких-либо "стратегиях" игроков более разумных, чем другие. Каждый из игроков с одинаковым основанием может принять любое решение. Однако при повторении игры положение меняется.

Действительно, допустим, что мы (игрок А) выбрали себе какую-то стратегию (скажем, А 1 ) и придерживаемся ее. Тогда уже по результатам первых нескольких ходов противник догадается о нашей стратегии и будет на нее отвечать наименее выгодным для нас образом, т.е. выбирать цифру. Нам явно невыгодно всегда применять какую-то одну стратегию; чтобы не оказаться в проигрыше, мы должны иногда выбирать герб, иногда - цифру. Однако, если мы будем чередовать гербы и цифры в какой-то определенной последовательности (например, через один), противник тоже может догадаться об этом иответить на эту стратегию наихудшим для нас образом. Очевидно, надежным способом, гарантирующим, что противник не будет знать нашей стратегии, будет такая организация выбора при каждом ходе, когда мы его сами наперед не знаем (это можно обеспечить, например, подбрасыванием монеты). Таким образом, мы путем интуитивных рассуждений подходим к одному из существенных понятий теории игр - к понятию "смешанной стратегии", т.е. такой, когда "чистые" стратегии - в данном случае А 1 и А 2 -чередуются случайно с определенными частотами. В данном примере из соображений симметрии заранее ясно, что стратегии А 1 и А 2 должны чередоваться с одинаковой частотой; в более сложных играх решение может быть далеко не тривиальным.

Пример 2 . Игроки А и В одновременно и независимо друг от друга записывают каждый одно из трех чисел: 1, 2 или 3.

Если сумма написанных чисел четная, то В платит А эту сумму в тенге; если она нечетная, то, наоборот, А платит В эту сумму. Требуется проанализировать игру и составить ее матрицу.

Решение . Игра состоит из двух ходов; оба - личные. У нас (А ) три стратегии: А 1 - писать 1; А 2 - писать 2; А 3 - писать 3. У противника (В ) - те же три стратегии. Игра представляет собой игру 3´3 с матрицей, приведенной ниже

А В	B 1	B 2	B 3
A 1		–3
A 2	–3		–5
A 3		–5

Очевидно, как и в предыдущем случае, на любую выбранную нами стратегию противник может ответить наихудшим для нас образом. Действительно, если мы выберем, например, стратегию А 1 противник будет всегда отвечать на нее стратегией В 2 ; на стратегию А 2 - стратегией В 3 ; на стратегию А 3 - стратегией В 2 . Таким образом, любой выбор определенной стратегии неизбежно приведет нас к проигрышу.

Пример 3 . В нашем распоряжении имеются три вида вооружения: А 1 , А 2 , А 3 ; у противника - три вида самолетов: B 1 , B 2 , В 3 . Наша задача - поразить самолет; задача противника - сохранить его непораженным. При применении вооружения А 1 самолеты B 1 , B 2 , В 3 поражаются соответственно с вероятностями 0,9, 0,4 и 0,2; при вооружении А 2 - с вероятностями 0,3, 0,6 и 0,8; при вооружении А 3 - с вероятностями 0,5, 0,7 и 0,2. Требуется сформулировать ситуацию в терминах теории игр.

Решение . Ситуация может рассматриваться как игра 3´3 с двумя личными ходами и одним случайным. Наш личный ход - выбор типа вооружения; личный ход противника - выбор самолета для участия в бою. Случайный ход - применение вооружения; этот ход может закончиться поражением или непоражением самолета. Наш выигрыш равен единице, если самолет поражен, и равен нулю в противном случае. Нашими стратегиями являются три варианта вооружения; стратегиями противника - три варианта самолетов. Среднее значение выигрыша при каждой заданной паре стратегий есть не что иное, как вероятность поражения данного самолета данным оружием. Матрица игры приведена ниже:

А В	B 1	B 2	B 3
A 1	0,9	0,4	0,2
A 2	0,3	0,6	0,8
A 3	0,5	0,7	0,2

Оптимальной стратегией игрока в теории игр называется такая стратегия, которая при многократном повторении игры обеспечивает данному игроку максимально возможный средний выигрыш (или, что тоже самое, минимально возможный средний проигрыш). При выборе этой стратегии основой рассуждений является предположение, что противник является по меньшей мере таким же разумным, как и мы сами, и делает все для того, чтобы помешать нам добиться своей цели.

В теории игр все рекомендации вырабатывают, исходя именно из этих принципов; следовательно, в ней не учитываются элементы риска, неизбежно присутствующие в каждой реальной стратегии, а также возможные просчеты и ошибки каждого из игроков.

Теория игр, как и всякая математическая модель сложного явления, имеет свои ограничения. Важнейшим из них является то, что выигрыш искусственно сводится к одному единственному числу. В большинстве практических конфликтных ситуация при выработке разумной стратегии приходится принимать во внимание не один, а несколько численных параметров-критериев успешности мероприятия. Стратегия, являющаяся оптимальной по одному критерию, необязательно будет оптимальной по другим. Однако, сознавая эти ограничения и не придерживаясь слепо рекомендаций, получаемых игровыми методами, можно все же разумно использовать математический аппарат теории игр для выработки если не в точности "оптимальной", то, во всяком случае, "приемлемой" стратегии.

Суть каждого принимаемого руководством решения - выбор наилучшей из нескольких альтернатив по конкретным установленным заранее критериям. (Если вы захотите вспомнить рассмотрение ограничений и критериев для принятия решений, обратитесь к гл. 6).Платежная матрица - это один из методов статистической теории решений, метод, который может оказать помощь руководителю в выборе одного из нескольких вариантов. Он особенно полезен, когда руководитель должен установить, какая стратегия в наибольшей мере будет способствовать достижению целей.

По словам Н. Пола Лумбы: <Платеж представляет собой денежное вознаграждение или полезность, являющиеся следствием конкретной стратегии в сочетании с конкретными обстоятельствами. Если платежи представить в форме таблицы (или матрицы), мы получаем платежную матрицу>, как показано на рис. 8.4. Слова <в сочетании с конкретными обстоятельствами> очень важны, чтобы понять, когда можно использовать платежную матрицу и оценить, когда решение, принятое на ее основе, скорее всего будет надежным. В самом общем виде матрица означает, что платеж зависит от определенных событий, которые фактически свершаются. Если такое событие или состояние природы не случается на деле, платеж неизбежно будет иным.

В целом платежная матрица полезна, когда:

1. Имеется разумно ограниченное число альтернатив или вариантов стратегии для выбора между ними.

2. То, что может случиться, с полной определенностью не известно.

3. Результаты принятого решения зависят от того, какая именно выбрана альтернатива и какие события в действительности имеют место.

Кроме того, руководитель должен располагать возможностью объективной оценки вероятности релевантных событий и расчета ожидаемого значения такой вероятности. Руководитель редко имеет полную определенность. Но также редко он действует в условиях полной неопределенности. Почти во всех случаях принятия решений руководителю приходится оценивать вероятность или возможность события. Из предшествующего рассмотрения напомним, что вероятность варьирует от 1, когда событие определенно произойдет, до 0, когда событие определенно не произойдет. Вероятность можно определить объективно, как поступает игрок в рулетку, ставя на нечетные номера. Выбор ее значения может опираться на прошлые тенденции или субъективную оценку руководителя, который исходит из собственного опыта действий в подобных ситуациях.

Если вероятность не была принята в расчет, решение всегда будет соскальзывать в направлении наиболее оптимистических последствий. Например, если исходить из того, что инвесторы на удачной кинокартине могут иметь 500% на инвестированный капитал, а при вложении в торговую сеть - в самом благоприятном варианте всего 20%, то решение всегда должно быть в пользу кинопроизводства. Однако если взять в расчет, что вероятность большого успеха кинофильма весьма невысока, капиталовложения в магазины становятся более привлекательными, поскольку вероятность получения указанных 20% очень значительна. Если взять более простой пример, то выплаты при ставках в заезде на длинную дистанцию на скачках выше, поскольку выше вероятность, что не выиграешь вообще ничего.

Вероятность прямо влияет на определение ожидаемого значения - центральной концепции платежной матрицы. Ожидаемое значение альтернативы или варианта стратегии - это сумма возможных значений, умноженных на соответствующие вероятности. К примеру, если вы считаете, что вложение средств (как стратегия действий) в киоск для торговли мороженым с вероятностью 0,5 обеспечит вам годовую прибыль 5000 долл., с вероятностью 0,2 - 10 000 долл. и с вероятностью 0,3 - 3000 долл., то ожидаемое значение составит.

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА №3

Модели теории игр

Понятие об игровых моделях

Теория игр занимается разработкой различного рода рекомендаций по принятию решений в условиях конфликтной ситуации. Формируя конфликтные ситуации математически, их можно представить как игру двух, трёх и более игроков, каждый из которых преследует цель максимизации своего выигрыша за счет другого игрока. Математическая модель конфликтной ситуации называется игрой , стороны, участвующие в конфликте, – игроками , а исход конфликта – выигрышем . Для каждой формализованной игры вводятся правила , т.е. система условий, определяющая:

1. варианты действий игроков;

2. объем информации каждого игрока о поведении партнеров;

3. выигрыш, к которому приводит каждая совокупность действий.

Как правило, выигрыш может быть задан количественно (например, проигрыш – 0, выигрыш – 1, ничья – ½). Игра называется парной , если в ней участвуют два игрока, и множественной , если число игроков больше двух. Игра называется игрой с нулевой суммой , если выигрыш одного из игроков равен проигрышу другого. Выбор и осуществление одного из предусмотренных правилами действий называется ходом игрока. Ходы могут быть личными и случайными. Личный ход – сознательный выбор игроком одного из возможных действий (ход в шахматной игре), случайный ход – случайно выбранное действие (выбор карты из перетасованной колоды).

Стратегией игрока называется совокупность правил, определяющих выбор его действия при при каждом личном ходе в зависимости от сложившейся ситуации. Игра называется конечной , если у игрока имеется конечное число стратегий, и бесконечной – в противном случае.

Для того, чтобы решить игру, или найти решение игры , следует для каждого игрока выбрать стратегию, которая удовлетворяет условию оптимальности, т.е. один из игроков должен получить максимальный выигрыш , когда второй придерживается своей стратегии. В то же время второй игрок должен иметь минимальный проигрыш , если первый придерживается своей стратегии. Такие стратегии называются оптимальными. Целью теории игр является определение оптимальной стратегии для каждого игрока . При выборе оптимальной стратегии естественно предполагать, что оба игрока ведут себя разумно с точки зрения своих интересов.

Платежная матрица. Нижняя и верхняя цена игры

Рассмотрим парную конечную игру. Пусть игрок А располагает m личными стратегиями, которые обозначим А 1 , А 2 ,…,А m . Пусть у игрока B имеется n личных стратегий, обозначим их B 1 , B 2 ,…,B n . Говорят, что игра имеет размерность m ´ n . В результате выбора игроками любой пары стратегий А i и B j однозначно определяется исход игры, т.е. выигрыш a ij игрока А (положительный или отрицательный) и проигрыш (-a ij ) игрока В . Матрица Р=(a ij) , элементами которой являются выигрыши, соответствующие стратегиям А i и B j , называется платежной матрицей или матрицей игры .

B j A i	B 1	B 2	…	B n
A 1	a 11	a 12	…	a 1n
A 2	a 21	a 22	…	a 2n
…	…	…	…	…
A m	a m1	a m 2		a mn

Пример – игра «Поиск»

Игрок А может спрятаться в убежище 1 – обозначим эту стратегию за А 1 или в убежище 2 – стратегия А 2 . Игрок В может искать первого игрока в убежище 1 –стратегия В 1 , либо в убежище 2 – стратегия В 2 . Если игрок А находится в убежище 1 и его там обнаруживает игрок В , т.е. осуществляется пара стратегий (А 1 ,В 1) , то игрок А платит штраф, т.е. a 11 =–1. Аналогично получаем a 22 =–1. Очевидно, что стратегии (А 1 ,В 2) и (А 2 ,В 1) дают игроку А выигрыш 1, поэтому a 12 =a 21 =1. Таким образом, получаем платежную матрицу

Рассмотрим игру m ´ n с матрицей Р=(a ij) и определим наилучшую среди стратегий игрока А . Выбирая стратегию А i , игрок А должен рассчитывать, что игрок В ответит на нее той из стратегий В j , для которой выигрыш для игрока А минимален (игрок В стремится «навредить» игроку А ).

Обозначим через a i наименьший выигрыш игрока А при выборе им стратегии А i для всех возможных стратегий игрока В (наименьшее число в i -й строке платежной матрицы), т.е. .

Среди всех чисел a i выберем наибольшее: . Назовем a нижней ценой игры , или максимальным выигрышем (максимином ). Это гарантированный выигрыш игрока А при любой стратегии игрока В . Следовательно, .

Стратегия, соответствующая максимину, называется максиминной стратегией . Игрок В заинтересован в том, чтобы уменьшить выигрыш игрока А ; выбирая стратегию B j , он учитывает максимально возможный при этом выигрыш для A. Обозначим .

Среди всех чисел выберем наименьшее иназовем b верхней ценой игры , или минимаксным выигрышем (минимаксом ). Это гарантированный проигрыш игрока В при любой стратегии игрока А . Следовательно, .

Стратегия, соответствующая минимаксу, называется минимаксной стратегией . Принцип, диктующий игрокам выбор наиболее осторожных минимаксной и максиминной стратегий, называется принципом минимакса .

Статистические игры

Во многих задачах, приводящихся к игровым, неопределенность вызвана отсутствием информации об условиях, в которых осуществляется действие. Эти условия зависят не от сознательных действий другого игрока, а от объективной действительности, которую принято называть «природой». Такие игры называют играми с природой (статистическими играми).

Задача

После нескольких лет эксплуатации промышленное оборудование оказывается в одном из следующих состояний: В 1 – оборудование может использоваться в очередном году после профилактического ремонта; В 2 – для безаварийной работы оборудования в дальнейшем следует заменить отдельные его детали и узлы; В 3 – оборудование требует капитального ремонта или замены.

В зависимости от сложившейся ситуации В 1 ,В 2 ,В 3 руководство предприятия может принять такие решения: А 1 – отремонтировать оборудование силами заводских специалистов, что требует соответствующих затрат а 1 =6, а 2 =10, а 3 =15 ден.ед; А 2 – вызвать специальную бригаду ремонтников, расходы в этом случае составят b 1 =15, b 2 =9, b 3 =18 ден.ед; А 3 – заменить оборудование новым, реализовав устаревшее оборудование по его остаточной стоимости. Совокупные затраты в результаты этого мероприятия будут равны соответственно с 1 =13, с 2 =24, с 3 =12 ден.ед.

Задание

1. Придав описанной ситуации игровую схему, выявить ее участников, указать возможные чистые стратегии сторон.

2. Составить платежную матрицу, пояснив смысл элементов a ij матрицы (почему они отрицательные?).

3. Выяснить, какое решение о работе оборудования в предстоящем году целесообразно рекомендовать руководству предприятия, чтобы минимизировать потери при следующих предположениях: а) накопленный на предприятии опыт эксплуатации аналогичного оборудования показывает, что вероятности указанных состояний оборудования равны соответственно q 1 =0,15; q 2 =0,55; q 3 =0,3 (примените критерий Байеса); б) имеющийся опыт свидетельствует о том, что все три возможных состояния оборудования равновероятны (примените критерий Лапласа); в) о вероятности оборудования ничего определенного сказать нельзя (примените критерии Вальда, Сэвиджа, Гурвица). Значение параметра g=0,8 в критерии Гурвица задано.

Решение

1) Описанная ситуация представляет собой статистическую игру.

В качестве статистика выступает руководство предприятия, которое может принять одно из следующих решений: отремонтировать оборудование своими силами (стратегия А 1), вызвать ремонтников (стратегия А 2); заменить оборудование новым (стратегия А 3).

Второй играющей стороной – природой будем считать совокупность факторов, влияющих на состояние оборудования: оборудование может использоваться после профилактического ремонта (состояние В 1); нужно заменить отдельные узлы и детали оборудования (состояние В 2): потребуется капитальный ремонт или замена оборудования (состояние В 3).

2) Составим платежную матрицу игры:

Элемент платежной матрицы а ij показывает затраты руководства предприятия, если при выбранной стратегии А i оборудование окажется в состоянии В j . Элементы платежной матрицы отрицательны, так как при любой выбранной стратегии руководству предприятия придется нести расходы.

а) накопленный на предприятии опыт эксплуатации аналогично оборудования показывает, что вероятности состояний оборудования равны q 1 =0,15; q 2 =0,55; q 3 =0,3.

Платежную матрицу представим в виде:

Стратегии статистика, A i	Состояния природы B j
B 1	B 2	B 3
A 1	-6	-10	-15	-10,9
A 2	-15	-9	-18	-12,6
A 3	-13	-24	-12	-18,75
q j	0,15	0,55	0,3

где , (i=1,3)

По критерию Байеса за оптимальную принимается та чистая стратегия А i , при которой максимизируется средний выигрыш статистика, т.е. обеспечивается =max .

Оптимальной стратегией по Байесу является стратегия А 1 .

б) имеющийся опыт свидетельствует о том, что все три возможных состояния оборудования равновероятны, т.е. = 1/3.

Средние выигрыши равны:

1/3*(-6-10-15) = -31/3 » -10,33;

1/3*(-15-9-18) = -42/3 = -14;

1/3*(-13-24-12) = -49/3 » -16,33.

Оптимальной стратегией по Лапласу является стратегия А 1 .

в) о вероятностях оборудования нельзя сказать ничего определенного.

По критерию Вальда за оптимальную принимается чистая стратегия, которая в наихудших условиях гарантирует максимальный выигрыш, т.е.

.

= max (-15, -18, -24) = -15.

Таким образом, оптимальной является стратегия А 1 .

Построим матрицу рисков , где .

Лекция 9. Понятие об игровых моделях. Платежная матрица.

§ 6 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ИГР

6.1 Понятие об игровых моделях.

Математи­ческая модель конфликтной ситуации называется игрой , стороны, участвующие в конфликте, – игроками, а исход конфликта – выигрышем .

Для каждой формализованной игры вводятся правила , т.е. система условий, определяющая: 1) варианты действий игро­ков; 2) объем информации каждого игрока о поведении партне­ров; 3) выигрыш, к которому приводит каждая совокупность дей­ствий. Как правило, выигрыш (или проигрыш) может быть задан количественно; например, можно оценить проигрыш нулем, выигрыш – единицей, а ничью – 1/2. Количественная оценка результатов игры называется платежом .

Игра называется парной , если в ней участвуют два игрока, и множественной , если число игроков больше двух. Мы будем рас­сматривать только парные игры. В них участвуют два игрока А и В, интересы которых противоположны, а под игрой будем пони­мать ряд действий со стороны А и В.

Игра называется игрой с нулевой суммой, или антагонистиче­ ской , если выигрыш одного из игроков равен проигрышу другого, т.е. сумма выигрышей обеих сторон равна нулю. Для полного задания игры достаточно указать величину одно­го изних. Если обозначить а – выигрыш одного из игроков, b – выигрыш другого, то для игры с нулевой суммой b = –а , поэтому достаточно рассматривать, например а.

Выбор и осуществление одного из предусмотренных правила­ми действий называется ходом игрока. Ходы могут быть личными и случайными . Личный ход – это сознательный выбор игроком одного из возможных действий (например, ход в шахматной игре). Набор возможных вариантов при каждом личном ходе регламентирован правилами игры и зависит от всей совокупности предшествующих ходов с обеих сторон.

Случайный ход – это случайно выбранное действие (напри­мер, выбор карты из перетасованной колоды). Чтобы игра была математически определенной, правила игры должны для каждого случайного хода указывать рас­пределение вероятностей возможных исходов.

Некоторые игры могут состоять только из случайных ходов (так называемые чисто азартные игры) или только из личных ходов (шахматы, шашки). Большинство карточных игр принадлежит к играм смешанного типа, т. е. содержит как случайные, так и личные ходы. В дальнейшем мы будем рассматривать только личные ходы игроков.

Игры классифицируются не только по характеру ходов (личные, случайные), но и по характеру и по объему инфор­мации, доступной каждому игроку относительно действий другого. Особый класс игр составляют так называемые «игры с полной информацией». Игрой с полной информацией назы­вается игра, в которой каждый игрок при каждом личном ходе знает результаты всех предыдущих ходов,как личных, так и случайных. Примерами игр с полной информацией могут служить шахматы, шашки, а также известная игра «крестики и нолики». Большинство игр, имеющих практическое значение, не при­надлежит к классу игр с полной информацией, таккак неиз­вестность по поводу действий противника обычно является существенным элементом конфликтных ситуаций.

Одним из основных понятий теории игр является понятие стратегии .

Стратегией игрока называется совокупность правил, опреде­ляющих выбор его действия при каждом личном ходе в зависимо­сти от сложившейся ситуации. Обычно в процессе игры при каж­дом личном ходе игрок делает выбор в зависимости от конкрет­ной ситуации. Однако в принципе возможно, что все решения приняты игроком заранее (в ответ на любую сложившуюся ситуа­цию). Это означает, что игрок выбрал определенную стратегию, которая может быть задана в виде списка правил или программы. (Так можно осуществить игру с помощью ЭВМ). Игра называется конечной , если у каждого игрока имеется конечное число страте­гий, и бесконечной .– в противном случае.

Для того чтобы решить игру, или найти решение игры , следует для каждого игрока выбрать стратегию, которая удовле­творяет условию оптимальности , т.е. один из игроков должен по­лучать максимальный выигрыш, когда второй придерживается своей стратегии, В то же время второй игрок должен иметь минимальный проигрыш , если первый придерживается своей стратегии. Такие стратегии называются оптимальными . Оптимальные стратегии должны также удовлетворять условию устойчивости , т.е. любому из игроков должно быть невыгодно отказаться от своей стратегии в этой игре.

Если игра повторяется достаточно много раз, то игроков может интересовать не выигрыш и проигрыш в каждой конкретной пар­тии, а средний выигрыш (проигрыш) во всех партиях.

Целью теории игр является определение оптимальной стратегии для каждого игрока.

6.2. Платежная матрица. Нижняя и верхняя цена игры

Конечная игра, в которой игрок А имеет т стратегий, а игрок В – п стратегий, называется игрой .

Рассмотрим игру
двух игроковА и В («мы» и «противник»).

Пусть игрок А располагает т личными стратегиями, которые обозначим
. Пусть у игрокаВ имеется n личных стратегий, обозначим их
.

Пусть каждая сторона выбрала определенную стратегию; для нас это будет , для противника. В результате выбора игроками любой пары стратегийи(
) однозначно определяется исход игры, т.е. выигрышигрокаА (положительный или отрицательный) и проигрыш
игрокаВ.

Предположим, что значения известны для любой пары страте­гий (,). Матрица
,
, элементами которой являются выигрыши, соответствующие страте­гиям и , называется платежной матрицей или матрицей игры. Строки этой матрицы соот­ветствуют стратегиям игрока А, а столбцы – стратегиям игрока B . Эти стратегии называются чистыми.

Матрица игры
имеет вид:

Рассмотрим игру
с матрицей

и определим наилучшую среди стратегий
. Выбирая стратегию , игрок А должен рассчитывать, что игрок В ответит на нее той из стратегий , для которой выигрыш для иг­рока А минимален (игрок В стремится "навредить" игроку A ).

Обозначим через наименьший выигрыш игрокаА при вы­боре им стратегии для всех возможных стратегий игрокаВ (наименьшее число в i -й строке платежной матрицы), т.е.

(1)

Среди всех чисел (
) выберем наибольшее:
.

Назовем
нижней ценой нгры, или максимальным выигрышем (максмином). Это гарантированный выигрыш игрока А при любой стратегии игрока В. Следовательно,

. (2)

Стратегия, соответствующая максимину, называется максиминной стратегией . Игрок В заинтересован в том, чтобы уменьшить выигрыш игрока А, выбирая стратегию , он учитывает макси­мально возможный при этом выигрыш для А. Обозначим

. (3)

Среди всех чисел выберем наименьшее

и назо­вем верхней ценой игры илиминимаксным выигрышем (минимаксом). Эго гарантированный проигрыш игрока В . Следова­тельно,

. (4)

Стратегия, соответствующая минимаксу, называется минимаксной стратегией.

Принцип, диктующий игрокам выбор наиболее "осторожных" минимаксной и максиминной стратегий, называется принципом минимакса . Этот принцип следует из разумного предположения, что каждый игрок стремится достичь цели, противоположной цели противника.

Теорема. Нижняя цена игры всегда не превосходит верхней цены игры
.

Если верхняя и нижняя цены игры совпадают, то общее значе­ние верхней и нижней цены игры
называется чистой ценой игры, или ценой игры. Минимакс­ные стратегии, соответствующие цене игры, являются оптимальными стратегиями , а их совокупность – оптимальным решением или решением игры. В этом случае игрок А получает максимальный га­рантированный (не зависящий от поведения игрока В) выигрыш v , а игрок В добивается минимального гарантированного (вне зависи­мости от поведения игрока А) проигрыша v . Говорят, что решение игры обладает устойчивостью , т.е. если один из игроков придержи­вается своей оптимальной стратегии, то для другого не может быть выгодным отклоняться от своей оптимальной стратегии.

Если один из игроков (например А) придерживается своей оптимальной стратегии, а другой игрок (В) будет любым способом отклоняться от своей оптимальной стра­тегии, то для игрока, допустившего отклонение, это никогда не может оказаться выгодным; такое отклонение игрока В может в лучшем случае оставить выигрыш неизменным. а в худшем случае – увеличить его.

Наоборот, если В придерживается своей оптимальной стратегии, а А отклоняется от своей, то это ни в коем случае не может быть выгодным для А.

Пара чистых стратегий и дает оптимальное решение игры тогда и только тогда, когда соответствующий ей элемент явля­ется одновременно наибольшим в своем столбце и наименьшим в своей строке. Такая ситуация, если она существует, называется седловой точкой. В геометрии точку на поверхности, обладающую свойством: одновременный минимум по одной координате и максимум по другой, называют седловой точкой, по аналогии этот термин применяют в теории игр.

Игра, для которой
, называется игрой с седловой точкой. Элемент , обладающий этим свойством, седловой точкой матрицы.

Итак, для каждой игры с седловой точкой существует решение, определяющее пару оптимальных стратегий обеих сторон, отличающуюся следующими свойствами.

1) Если обе стороны придерживаются своих оптимальных стратегий, то средний выигрыш равен чистой цене игры v , одновременно являющейся ее нижней и верхней ценой.

2) Если одна из сторон придерживается своей оптимальной стратегии, а другая отклоняется от своей, то от этого отклоняющаяся сторона может только потерять и ни в коем случае не может увеличить свой выигрыш.

Класс игр, имеющих седловую точку, представляет боль­шой интерес как с теоретической, так и с практической точки зрения.

В теории игр доказывается, что, в частности, каждая игра с полной информацией имеет седловую точку, и, сле­довательно, каждая такая игра имеет решение, т. е. суще­ствует пара оптимальных стратегий той и другой стороны, дающая средний выигрыш, равный цене игры. Если игра с полной информацией состоит только из личных ходов, то при применении каждой стороной своей оптимальной стратегии она должна всегда кончаться вполне определенным исходом, а именно, выигрышем, в точности равным цене игры.

В данной матрице элементы величины α i и β j – соответственно минимальные значения элементов a ij по строкам и максимальные по столбцам.

Построение платежной матрицы – наиболее трудоемкий этап подготовки принятия решения. Ошибки в платежной матрице не могут быть компенсированы никакими вычислительными методами и приведут к неверному итоговому результату.

Возможен и другой способ задания матрицы игры с природой – в виде матрицы рисков R, или матрицы потерь (упущенных возможностей) . Величина риска – это размер платы за отсутствие информации о состоянии среды. Матрица R может быть построена непосредственно из условий задачи или на основе матрицы выигрышей.

Риском r ij игрока А при использовании им стратегии А i , а игроком В – стратегии В j называют разность между выигрышем, который игрок А получил бы, если бы знал, что игрок В выберет стратегию В j , и выигрышем, который игрок получил бы, не имея этой информации. Зная стратегию игрока В, игрок А выбирает вариант действий, при котором его выигрыш максимален, то есть r ij = β j – a ij , где при заданномj .

Рассмотрим способ построения матрицы рисков на примере (табл. 8.2, 8.3).

Таблица 8.2

Пример платежной матрицы

					α i
β j

Согласно выведенным определениям r ij и β j получаем матрицу рисков.

Таблица 8.3

Матрица рисков

Независимо от вида матрицы игры требуется выбрать такую стратегию игрока, которая была бы наиболее выгодной по сравнению с другими.

В условиях неопределенности для определения наилучших решений могут быть использованы следующие критерии:

1. Критерий максимакса (критерий крайнего оптимизма) . Позволяет определить стратегию, максимизирующую выигрыш игрока (М ):

.

Очевидно, что для матрицы выигрышей, представленной в табл. 8.2 , наилучшим решением будет А 1 , при котором достигается максимальный выигрыш – 9.

Следует отметить, что ситуации, требующие применения такого критерия, в экономике в общем нередки, и пользуются им не только безоглядные оптимисты, но и игроки, поставленные в безвыходное положение, когда они вынуждены руководствоваться принципом "или пан, или пропал".

2. Критерий Вальда (критерий максимина) . Данный критерий позволяет максимизировать минимально возможный выигрыш:

.

Для стратегии А 1
;

Для стратегии А 2
;

Для стратегии А 3
.

Соответственно W = 3, что соответствует стратегии А 2 игрока А.

Особенность максиминного критерия в том, что он ориентирует на выбор наиболее безопасного варианта. Это своего рода критерий для осторожного человека. Им главным образом следует пользоваться в тех случаях, когда действия направлены на удовлетворение жизненно важных потребностей и необходимо обеспечить успех при любых возможных условиях. Он имеет в качестве недостатка неубедительность использования в разных условиях окружающей обстановки. Однако в тех случаях, когда действия направлены на удовлетворение жизненно важных потребностей и необходимо обеспечить успех при любых возможных условиях, максиминный критерий в наибольшей степени соответствует существу задачи. Так или иначе, выбор такой стратегии определяется отношением игрока к риску.

3. Критерий Сэвиджа (критерий минимакса) . Позволяет минимизировать максимальные потери. Выбор стратегии аналогичен выбору стратегии по принципу Вальда с тем отличием, что игрок руководствуется не матрицей выигрыша, а матрицей рисков:

Для матрицы рисков, представленной в табл. 8.3,

Для стратегии А 1
;

Для стратегии А 2
;

Для стратегии А 3
.

Соответственно, S = 4, что соответствует стратегии А 1 игрока А.

Слабость данного критерия заключается в допущении, что результаты выбираются разумным противником, интересы которого прямо противоположны нашим собственным, то есть мы полагаем следующее: если применяемые правила принятия решений позволяют противнику извлечь какое-либо преимущество, то он обязательно это сделает. Однако если исключить вполне определенные условия конкурентной борьбы, то столь пессимистические допущения нельзя оправдать. Действительно, ведь результаты могут выбираться нерациональным "противником", а цели "противника" не обязательно полностью противоречат нашим собственным.

Критерий Гурвица (критерий обобщенного максимина или критерий пессимизма – оптимизма) . Был предложен с учетом недостатков указанных выше критериев. При выборе решения он рекомендует руководствоваться неким средним результатом, характеризующим состояние между крайним пессимизмом и безудержным оптимизмом. Критерий имеет следующий вид:

,

где р – коэффициент пессимизма (
).

При р = 0 критерий Гурвица совпадает с максимаксным критерием, а при р = 1 – с критерием Вальда.

Покажем процедуру применения данного критерия для платежной матрицы при р = 0,4:

Для стратегии А 1
;

Для стратегии А 2
;

Для стратегии А 3 .

Тогда Н А = 6, что соответствует стратегии А 2 (для сравнения, при р = 0,3, оптимальной будет являться стратегия А 1).

Применительно к матрице рисков критерий Гурвица выглядит следующим образом:

,

Критерий Лапласа . В его основу положено предположение, что поскольку о вероятностях получения того или иного результата ничего неизвестно, то можно полагать их равновероятными. Поэтому оценка каждой i -й стратегии производится как среднее арифметическое в i -й строке (L):

Для представленной выше платежной матрицы:

Для стратегии А 1
;

Для стратегии А 2
;

Для стратегии А 3
.

Соответственно, L = 4,75, что соответствует стратегии А 1 .

В случае, когда по принятому критерию рекомендуется к использованию несколько стратегий, выбор между ними может делаться по дополнительному критерию. Например, в расчет могут приниматься средние квадратичные отклонения от средних выигрышей при каждой стратегии.

Попытка сформулировать критерий оценки возможных решений в условиях неопределенности отражает стремление сделать более наглядными преимущества и недостатки каждого варианта действий в различной обстановке.

Как видно из представленных выше расчетов, использование различных критериев при решении одной задачи, как правило, приводит к получению неодинаковых результатов. Существует два подхода к выбору критериев для решения задач в условиях неопределенности. Первый из них – это разработка новых критериев или требований для выбора критерия принятия решения. Второй путь заключается в использовании любой, пусть самой скудной, информации о вероятностях реализации различных условий внешней среды (различных результатов, получаемых при реализации той или иной стратегии) или в проведении экспериментов с целью получения оценок этих вероятностей. Тем самым неопределенная задача становится вероятностной.

Оба пути трудоемки и, как правило, трудновыполнимы на практике, однако предпочтительнее все же второй путь. Первый путь приводит к поискам новых критериев для выбора лучшего из числа известных, затем – к поискам критериев для выбора из числа рассматриваемых и т. д. Иными словами, не существует критерия принятия решения, не основанного на оценках вероятностей, который удовлетворял бы определенным обоснованным требованиям "хорошего" критерия.

Ни один из предложенных методов выбора решений не является универсальным, способным удовлетворить любого ЛПР. Люди по-разному относятся к элементам риска, содержащимся в каждом решении. Один склонен рисковать в надежде добиться большего успеха, другой предпочитает всегда действовать осторожно. Разумеется, размеры риска, допускаемые в решении, зависят не только от характера ЛПР, но и от содержания целей.

Ученые считают, что правило минимаксных (осторожных) решений интуитивно применяется большинством руководителей в повседневной практике, в то время как стремление к максимуму ожидаемых результатов могло бы быть более эффективным для организации. Так, многие руководители предпочитают иметь на складах предприятия некоторые излишки запасов материалов, чем подвергаться риску возникновения простоев в производстве из-за перебоев в поставках.

В платежной матрице игры существует элемент, являющийся одновременно минимальным в своей строке и максимальным в своем столбце. Такой элемент называют седловой точкой. Седловая точка в игре имеет место тогда, когда наблюдается равенство α i = β j . При этом значение α i = β j V называют чистой ценой игры. В этом случае решение игры (совокупность оптимальных стратегий игроков) обладает следующим свойством: если один из игроков придерживается своей оптимальной стратегии, то для другого не может быть выгодным отклоняться от своей оптимальной стратегии. Поэтому для игры с седловой точкой минимаксные стратегии обладают устойчивостью.

В целом теория игр может рассматриваться как своеобразный методический инструмент для анализа ситуаций, характеризующихся конфликтом сторон и неопределенностью.

Однако в связи с отмеченными выше существенными ограничениями, лежащими в основе формализации игры, далеко не все реальные ситуации допускают такую формализацию, а полученные выводы в реальных ситуациях выглядят зачастую банальными (например, направить все ресурсы на наиболее эффективные операции) и могут требовать корректировки с позиций здравого смысла, диверсификации видов деятельности и т.д. Это снижает практическую эффективность игрового подхода в реальной деятельности.