Различные приемы при решении показательных уравнений. Решение показательных уравнений по математике

Так называются уравнения вида, где неизвестное находится и в показателе и в основании степени.

Можно указать совершенно четкий алгоритм решения уравнении вида. Для этого надо обратить внимание на то, что при а(х) не равном нулю, единице и минус единице равенство степеней с одинаковыми основаниями (будь-то положительными или отрицательными) возможно лишь при условии равенства показателей То - есть все корни уравнения будут корнями уравнения f(x) = g(x) Обратное же утверждение неверно, при а(х) < 0 и дробных значениях f(x) и g(x) выражения а(х) f(x) и

а(х) g(x) теряют смысл. То - есть при переходе от к f(x) = g(x) (при и могут появиться посторонние корни, которые нужно исключить проверкой по исходному уравнению. А случаи а = 0, а = 1, а =-1 надо рассмотреть отдельно.

Итак, для полного решения уравнения рассматриваем случаи:

а(х) = О f(x) и g{x) будут положительными числами, то это решение. В противном случае, нет

а(х) = 1 . Корни этого уравнения являются корнями и исходного уравнения.

а(х) = -1 . Если при значении х, удовлетворяющем этому уравнению, f(x) и g(x) являются целыми числами одинаковой четности (либо оба четные, либо оба нечетные) , то это решение. В противном случае, нет

При и решаем уравнение f(x)= g(x) и подстановкой полученных результатов в исходное уравнение отсекаем посторонние корни.

Примеры решения показательно-степенных уравнений.

Пример №1.

1) x - 3 = 0, x = 3. т.к. 3 > 0, и 3 2 > 0, то x 1 = 3 - это решение.

2) x - 3 = 1, x 2 = 4.

3) x - 3 = -1, x = 2. Оба показателя четные. Это решение x 3 = 1.

4) x - 3 ? 0 и x ? ± 1. x = x 2 , x = 0 или x = 1. При x = 0, (-3) 0 = (-3) 0 -верно это решение x 4 = 0. При x = 1, (-2) 1 = (-2) 1 - верно это решение x 5 = 1.

Ответ: 0, 1, 2, 3, 4.

Пример №2.

По определению арифметического квадратного корня: x - 1 ? 0, x ? 1.

1) x - 1 = 0 или x = 1, = 0, 0 0 это не решение.

2) x - 1 = 1 x 1 = 2.

3) x - 1 = -1 x 2 = 0 не подходит в ОДЗ.

Д = (-2) - 4*1*5 = 4 - 20 = -16 - корней нет.

Применение уравнений широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Уравнения человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Степенные или показательные уравнения называют уравнения, в которых переменные находятся в степенях, а основанием является число. Например:

Решение показательного уравнения сводится к 2 довольно простым действиям:

1. Нужно проверить одинаковые ли основания у уравнения справа и слева. Если основания неодинаковые, ищем варианты для решения данного примера.

2. После того как основания станут одинаковыми, приравниваем степени и решаем полученное новое уравнение.

Допустим, дано показательное уравнение следующего вида:

Начинать решение данного уравнения стоит с анализа основания. Основаниея разные - 2 и 4, а для решения нам нужно, чтобы были одинаковые, поэтому преобразуем 4 по такой формуле -\[ (a^n)^m = a^{nm}:\]

Прибавляем к исходному уравнению:

Вынесем за скобки \

Выразим \

Поскольку степени одинаковые, отбрасываем их:

Ответ: \

Где можно решить показательное уравнение онлайн решателем?

Решить уравнение вы можете на нашем сайте https://сайт. Бесплатный онлайн решатель позволит решить уравнение онлайн любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать - это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как решить уравнение на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в нашей групе Вконтакте http://vk.com/pocketteacher. Вступайте в нашу группу, мы всегда рады помочь вам.

белгородский государственный университет

КАФЕДРА алгебры, теории чисел и геометрии

Тема работы: Показательно-степенные уравнения и неравенства.

Дипломная работа студента физико-математического факультета

Научный руководитель:

______________________________

Рецензент: _______________________________

________________________

Белгород. 2006 г.


Введение 3
Тема I. Анализ литературы по теме исследования.
Тема II. Функции и их свойства, используемые при решении показательно-степенных уравнений и неравенств.
I.1. Степенная функция и ее свойства.
I.2. Показательная функция и ее свойства.
Тема III. Решение показательно-степенных уравнений, алгоритм и примеры.
Тема IV. Решение показательно-степенных неравенств, план решения и примеры.
Тема V. Опыт проведения занятий со школьниками по теме: «Решение показательно-степенных уравнений и неравенств».
V. 1. Обучающий материал.
V. 2. Задачи для самостоятельного решения.
Заключение. Выводы и предложения.
Список используемой литературы.
Приложения

Введение.

«…радость видеть и понимать…»

А.Эйнштейн.

В этой работе я попыталась передать свой опыт работы учителем математики, передать хоть в какой-то степени свое отношение к ее преподаванию - человеческому делу, в котором удивительным образом переплетаются и математическая наука, и педагогика, и дидактика, и психология, и даже философия.

Мне довелось работать с малышами и выпускниками, с детьми, стоящими на полюсах интеллектуального развития: теми, кто со­стоял на учете у психиатра и кто действительно интересовался математикой

Мне довелось решать множество методических задач. Я попы­таюсь рассказать о тех из них, которые мне удалось решить. Но еще больше - не удалось, да и в тех, что вроде бы решены, появ­ляются новые вопросы.

Но еще важнее самого опыта - учительские размышления и сомнения: а почему он именно такой, этот опыт?

И лето нынче на дворе иное, и разворот образования стал поинтереснее. «Под юпи­терами» нынче не поиски мифической оптимальной системы обучения «всех и всему», а сам ребенок. Но тогда - с необходи­мостью - и учитель.

В школьном курсе алгебры и начал анализа, 10 – 11 класс, при сдаче ЕГЭ за курс средней школы и на вступительных экзаменах в ВУЗы встречаются уравнения и неравенства, содержащее неизвестное в основании и показатели степени – это показательно-степенные уравнения и неравенства.

В школе им мало уделяется внимания, в учебниках практически нет заданий на эту тему. Однако, овладение методикой их решения, мне кажется, очень полезным: оно повышает умственные и творческие способности учащихся, перед нами открываются совершенно новые горизонты. При решении задач ученики приобретают первые навыки исследовательской работы, обогащается их математическая культура, развиваются способности к логическому мышлению. У школьников формируются такие качества личности как целеустремленность, целеполагание, самостоятельность, которые будут полезны им в дальнейшей жизни. А также происходит повторение, расширение и глубокое усвоение учебного материала.

Работать над данной темой дипломного исследования я начала еще с написания курсовой. В ходе, которой я глубже изучила и проанализировала математическую литературу по этой теме, выявила наиболее подходящий метод решения показательно-степенных уравнений и неравенств.

Он заключается в том, что помимо общепринятого подхода при решении показательно-степенных уравнений (основание берется больше 0) и при решении тех же неравенств (основание берется больше 1 или больше 0, но меньше 1), рассматриваются еще и случаи, когда основания отрицательны, равны 0 и 1.

Анализ письменных экзаменационных работ учащихся показывает, что неосвещенность вопроса об отрицательном значении аргумента показательно-степенной функции в школьных учебниках, вызывает у них ряд трудностей и ведет к появлению ошибок. А также у них возникают проблемы на этапе систематизации полученных результатов, где могут в силу перехода к уравнению – следствию или неравенству – следствию, появиться посторонние корни. С целью устранения ошибок мы используем проверку по исходному уравнению или неравенству и алгоритм решения показательно-степенных уравнений, либо план решения показательно-степенных неравенств.

Чтобы учащиеся смогли успешно сдать выпускные и вступительные экзамены, я считаю, необходимо уделять больше внимания решению показательно-степенных уравнений и неравенств на учебных занятиях, либо дополнительно на факультативах и кружках.

Таким образом тема , моей дипломной работы определена следующим образом: «Показательно-степенные уравнения и неравенства».

Целями настоящей работы являются:

1. Проанализировать литературу по данной теме.

2. Дать полный анализ решения показательно-степенных уравнений и неравенств.

3. Привести достаточное число примеров по данной теме разнообразных типов.

4. Проверить на урочных, факультативных и кружковых занятиях как будет восприниматься предлагаемые приемы решения показательно-степенных уравнений и неравенств. Дать соответствующие рекомендации к изучению этой темы.

Предметом нашего исследования является разработка методики решения показательно-степенных уравнений и неравенств.

Цель и предмет исследования потребовали решения следующих задач:

1. Изучить литературу по теме: «Показательно-степенные уравнения и неравенства».

2. Овладеть методиками решения показательно-степенных уравнений и неравенств.

3. Подобрать обучающий материал и разработать систему упражнений разных уровней по теме: «Решение показательно-степенных уравнений и неравенств».

В ходе дипломного исследования было проанализировано более 20 работ, посвященных применению различных методов решения показательно-степенных уравнений и неравенств. Отсюда получаем.

План дипломной работы:

Введение.

Глава I. Анализ литературы по теме исследования.

Глава II. Функции и их свойства, используемые при решении показательно-степенных уравнений и неравенств.

II.1. Степенная функция и ее свойства.

II.2. Показательная функция и ее свойства.

Глава III. Решение показательно-степенных уравнений, алгоритм и примеры.

Глава IV. Решение показательно-степенных неравенств, план решения и примеры.

Глава V. Опыт проведения занятий со школьниками по данной теме.

1.Обучающий материал.

2.Задачи для самостоятельного решения.

Заключение. Выводы и предложения.

Список использованной литературы.

В I главе проанализирована литература

На этапе подготовки к заключительному тестированию учащимся старших классов необходимо подтянуть знания по теме «Показательные уравнения». Опыт прошлых лет свидетельствует о том, что подобные задания вызывают у школьников определенные затруднения. Поэтому старшеклассникам, независимо от уровня их подготовки, необходимо тщательно усвоить теорию, запомнить формулы и понять принцип решения таких уравнений. Научившись справляться с данным видом задач, выпускники смогут рассчитывать на высокие баллы при сдаче ЕГЭ по математике.

Готовьтесь к экзаменационному тестированию вместе со «Школково»!

При повторении пройденных материалов многие учащиеся сталкиваются с проблемой поиска нужных для решения уравнений формул. Школьный учебник не всегда находится под рукой, а отбор необходимой информации по теме в Интернете занимает долгое время.

Образовательный портал «Школково» предлагает ученикам воспользоваться нашей базой знаний. Мы реализуем совершенно новый метод подготовки к итоговому тестированию. Занимаясь на нашем сайте, вы сможете выявить пробелы в знаниях и уделить внимание именно тем заданиям, которые вызывают наибольшие затруднения.

Преподаватели «Школково» собрали, систематизировали и изложили весь необходимый для успешной сдачи ЕГЭ материал в максимально простой и доступной форме.

Основные определения и формулы представлены в разделе «Теоретическая справка».

Для лучшего усвоения материала рекомендуем попрактиковаться в выполнении заданий. Внимательно просмотрите представленные на данной странице примеры показательных уравнений с решением, чтобы понять алгоритм вычисления. После этого приступайте к выполнению задач в разделе «Каталоги». Вы можете начать с самых легких заданий или сразу перейти к решению сложных показательных уравнений с несколькими неизвестными или . База упражнений на нашем сайте постоянно дополняется и обновляется.

Те примеры с показателями, которые вызвали у вас затруднения, можно добавить в «Избранное». Так вы можете быстро найти их и обсудить решение с преподавателем.

Чтобы успешно сдать ЕГЭ, занимайтесь на портале «Школково» каждый день!

Лекция: «Методы решения показательных уравнений».

1 . Показательные уравнения.

Уравнения, содержащие неизвестные в показателе степени, называются показательными уравнениями. Простейшим из них является уравнение аx = b, где а > 0, а ≠ 1.

1) При b < 0 и b = 0 это уравнение, согласно свойству 1 показательной функции, не имеет решения.

2) При b > 0 используя монотонность функции и теорему о корне, уравнение имеет единственный корень. Для того, чтобы его найти, надо b представить в виде b = aс, аx = bс ó x = c или x = logab.

Показательные уравнения путем алгебраических преобразований приводят к стандартным уравнения, которые решаются, используя следующие методы:

1) метод приведения к одному основанию ;

2) метод оценки;

3) графический метод;

4) метод введения новых переменных;

5) метод разложения на множители;

6) показательно – степенные уравнения;

7) показательные с параметром.

2 . Метод приведения к одному основанию.

Способ основан на следующем свойстве степеней: если равны две степени и равны их основания, то равны и их показатели, т. е. уравнение надо попытаться свести к виду

Примеры. Решить уравнение:

1 . 3x = 81;

Представим правую часть уравнения в виде 81 = 34 и запишем уравнение, равносильное исходному 3 x = 34; x = 4. Ответ: 4.

2. https://pandia.ru/text/80/142/images/image004_8.png" width="52" height="49">и перейдем к уравнению для показателей степеней 3x+1 = 3 – 5x; 8x = 4; x = 0,5. Ответ: 0,5.

3. https://pandia.ru/text/80/142/images/image006_8.png" width="105" height="47">

Заметим, что числа 0,2 , 0,04 , √5 и 25 представляют собой степени числа 5. Воспользуемся этим и преобразуем исходное уравнение следующим образом:

, откуда 5-x-1 = 5-2x-2 ó - x – 1 = - 2x – 2, из которого находим решение x = -1. Ответ: -1.

5. 3x = 5. По определению логарифма x = log35. Ответ: log35.

6. 62x+4 = 33x. 2x+8.

Перепишем уравнение в виде 32x+4.22x+4 = 32x.2x+8, т. е..png" width="181" height="49 src="> Отсюда x – 4 =0, x = 4. Ответ: 4.

7 . 2∙3x+1 - 6∙3x-2 - 3x = 9. Используя свойства степеней, запишем уравнение в виде 6∙3x - 2∙3x – 3x = 9 далее 3∙3x = 9, 3x+1 = 32 , т. е. x+1 = 2, x =1. Ответ: 1.

Банк задач №1.

Решить уравнение:

Тест №1.

1) 0 2) 4 3) -2 4) -4

А2 32x-8 = √3.

1)17/4 2) 17 3) 13/2 4) -17/4

А3

1) 3;1 2) -3;-1 3) 0;2 4) корней нет

1) 7;1 2) корней нет 3) -7;1 4) -1;-7

А5

1) 0;2; 2) 0;2;3 3) 0 4) -2;-3;0

А6

1) -1 2) 0 3) 2 4) 1

Тест №2

А1

1) 3 2) -1;3 3) -1;-3 4) 3;-1

А2

1) 14/3 2) -14/3 3) -17 4) 11

А3

1) 2;-1 2) корней нет 3) 0 4) -2;1

А4

1) -4 2) 2 3) -2 4) -4;2

А5

1) 3 2) -3;1 3) -1 4) -1;3

3 Метод оценки.

Теорема о корне : если функция f(x) возрастает (убывает) на промежутке I, число а –любое значение принимаемое f на этом промежутке, тогда уравнение f(x) = а имеет единственный корень на промежутке I.

При решении уравнений методом оценки используется эта теорема и свойства монотонности функции.

Примеры. Решить уравнения: 1. 4x = 5 – x.

Решение. Перепишем уравнение в виде 4x +x = 5.

1. если x = 1, то 41+1 = 5 , 5 = 5 верно, значит 1 – корень уравнения.

Функция f(x) = 4x – возрастает на R, и g(x) = x –возрастает на R => h(x)= f(x)+g(x) возрастает на R, как сумма возрастающих функций, значит x = 1 – единственный корень уравнения 4x = 5 – x. Ответ: 1.

2.

Решение. Перепишем уравнение в виде .

1. если x = -1, то , 3 = 3-верно, значит x = -1 – корень уравнения.

2. докажем, что он единственный.

3. Функция f(x) = - убывает на R, и g(x) = - x – убывает на R=> h(x) = f(x)+g(x) – убывает на R, как сумма убывающих функций. Значит по теореме о корне, x = -1 – единственный корень уравнения. Ответ: -1.

Банк задач №2. Решить уравнение

а) 4x + 1 =6 – x;

б)

в) 2x – 2 =1 – x;

4. Метод введения новых переменных.

Метод описан в п. 2.1. Введение новой переменной (подстановка) обычно производится после преобразований (упрощения) членов уравнения. Рассмотрим примеры.

Примеры. Р ешить уравнение: 1. .

Перепишем уравнение иначе: https://pandia.ru/text/80/142/images/image030_0.png" width="128" height="48 src="> т. е..png" width="210" height="45">

Решение. Перепишем уравнение иначе:

Обозначим https://pandia.ru/text/80/142/images/image035_0.png" width="245" height="57"> - не подходит.

t = 4 => https://pandia.ru/text/80/142/images/image037_0.png" width="268" height="51"> - иррациональное уравнение. Отмечаем, что

Решением уравнения является x = 2,5 ≤ 4, значит 2,5 – корень уравнения. Ответ: 2,5.

Решение. Перепишем уравнение в виде и разделим его обе части на 56x+6 ≠ 0. Получим уравнение

2x2-6x-7 = 2x2-6x-8 +1 = 2(x2-3x-4)+1, т..png" width="118" height="56">

Корни квадратного уравнения – t1 = 1 и t2 <0, т. е..png" width="200" height="24">.

Решение. Перепишем уравнение в виде

и заметим, что оно является однородным уравнением второй степени.

Разделим уравнение на 42x, получим

Заменим https://pandia.ru/text/80/142/images/image049_0.png" width="16" height="41 src="> .

Ответ: 0; 0,5.

Банк задач № 3. Решить уравнение

б)

г)

Тест № 3 с выбором ответа. Минимальный уровень.

А1

1) -0,2;2 2) log52 3) –log52 4) 2

А2 0,52x – 3 0,5x +2 = 0.

1) 2;1 2) -1;0 3) корней нет 4) 0

1) 0 2) 1; -1/3 3) 1 4) 5

А4 52x-5x - 600 = 0.

1) -24;25 2) -24,5; 25,5 3) 25 4) 2

1) корней нет 2) 2;4 3) 3 4) -1;2

Тест № 4 с выбором ответа. Общий уровень.

А1

1) 2;1 2) ½;0 3)2;0 4) 0

А2 2x – (0,5)2x – (0,5)x + 1 = 0

1) -1;1 2) 0 3) -1;0;1 4) 1

1) 64 2) -14 3) 3 4) 8

1)-1 2) 1 3) -1;1 4) 0

А5

1) 0 2) 1 3) 0;1 4) корней нет

5. Метод разложения на множители.

1. Решите уравнение: 5x+1 - 5x-1 = 24.

Решение..png" width="169" height="69"> , откуда

2. 6x + 6x+1 = 2x + 2x+1 + 2x+2.

Решение. Вынесем за скобки в левой части уравнения 6x, а в правой части – 2x. Получим уравнение 6x(1+6) = 2x(1+2+4) ó 6x = 2x.

Так как 2x >0 при всех x, можно обе части этого уравнения разделить на 2x, не опасаясь при этом потери решений. Получим 3x = 1ó x = 0.

3.

Решение. Решим уравнение методом разложения на множители.

Выделим квадрат двучлена

4. https://pandia.ru/text/80/142/images/image067_0.png" width="500" height="181">

x = -2 – корень уравнения.

Уравнение x + 1 = 0 " style="border-collapse:collapse;border:none">

А1 5x-1 +5x -5x+1 =-19.

1) 1 2) 95/4 3) 0 4) -1

А2 3x+1 +3x-1 =270.

1) 2 2) -4 3) 0 4) 4

А3 32x + 32x+1 -108 = 0. x=1,5

1) 0,2 2) 1,5 3) -1,5 4) 3

1) 1 2) -3 3) -1 4) 0

А5 2x -2x-4 = 15. x=4

1) -4 2) 4 3) -4;4 4) 2

Тест № 6 Общий уровень.

А1 (22x-1)(24x+22x+1)=7.

1) ½ 2) 2 3) -1;3 4) 0,2

А2

1) 2,5 2) 3;4 3) log43/2 4) 0

А3 2x-1-3x=3x-1-2x+2.

1) 2 2) -1 3) 3 4) -3

А4

1) 1,5 2) 3 3) 1 4) -4

А5

1) 2 2) -2 3) 5 4) 0

6. Показательно – степенные уравнения.

К показательным уравнениям примыкают так называемые показательно – степенные уравнения, т. е. уравнения вида (f(x))g(x) = (f(x))h(x).

Если известно, что f(x)>0 и f(x) ≠ 1, то уравнение, как и показательное, решается приравниванием показателей g(x) = f(x).

Если условием не исключается возможность f(x)=0 и f(x)=1, то приходится рассматривать и эти случаи при решении показательно – степенного уравнения.

1..png" width="182" height="116 src=">

2.

Решение. x2 +2x-8 – имеет смысл при любых x, т. к. многочлен, значит уравнение равносильно совокупности

https://pandia.ru/text/80/142/images/image078_0.png" width="137" height="35">

б)

7. Показательные уравнения с параметрами.

1. При каких значениях параметра p уравнение 4 (5 – 3)2 +4p2–3p = 0 (1) имеет единственное решение?

Решение. Введем замену 2x = t, t > 0, тогда уравнение (1) примет вид t2 – (5p – 3)t + 4p2 – 3p = 0. (2)

Дискриминант уравнения (2) D = (5p – 3)2 – 4(4p2 – 3p) = 9(p – 1)2.

Уравнение (1) имеет единственное решение, если уравнение (2) имеет один положительный корень. Это возможно в следующих случаях.

1. Если D = 0, то есть p = 1, тогда уравнение (2) примет вид t2 – 2t + 1 = 0, отсюда t = 1, следовательно, уравнение (1) имеет единственное решение x = 0.

2. Если p1, то 9(p – 1)2 > 0, тогда уравнение (2) имеет два различных корня t1 = p, t2 = 4p – 3. Условию задачи удовлетворяет совокупность систем

Подставляя t1 и t2 в системы, имеем

https://pandia.ru/text/80/142/images/image084_0.png" alt="no35_11" width="375" height="54"> в зависимости от параметра a?

Решение. Пусть тогда уравнение (3) примет вид t2 – 6t – a = 0. (4)

Найдем значения параметра a, при которых хотя бы один корень уравнения (4) удовлетворяет условию t > 0.

Введем функцию f(t) = t2 – 6t – a. Возможны следующие случаи.

https://pandia.ru/text/80/142/images/image087.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_14.gif" align="left" width="215" height="73 src=">где t0 - абсцисса вершины параболы и D - дискриминант квадратного трехчлена f(t);

https://pandia.ru/text/80/142/images/image089.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_16.gif" align="left" width="60" height="51 src=">

Случай 2. Уравнение (4) имеет единственное положительное решение, если

D = 0, если a = – 9, тогда уравнение (4) примет вид (t – 3)2 = 0, t = 3, x = – 1.

Случай 3. Уравнение (4) имеет два корня, но один из них не удовлетворяет неравенству t > 0. Это возможно, если

https://pandia.ru/text/80/142/images/image092.png" alt="no35_17" width="267" height="63">

Таким образом, при a 0 уравнение (4) имеет единственный положительный корень . Тогда уравнение (3) имеет единственное решение

При a < – 9 уравнение (3) корней не имеет.

если a < – 9, то корней нет; если – 9 < a < 0, то
если a = – 9, то x = – 1;

если a  0, то

Сравним способы решения уравнений (1) и (3). Отметим, что при решении уравнение (1) было сведено к квадратному уравнению, дискриминант которого - полный квадрат; тем самым корни уравнения (2) сразу были вычислены по формуле корней квадратного уравнения, а далее относительно этих корней были сделаны выводы. Уравнение (3) было сведено к квадратному уравнению (4), дискриминант которого не является полным квадратом, поэтому при решении уравнения (3) целесообразно использовать теоремы о расположении корней квадратного трехчлена и графическую модель. Заметим, что уравнение (4) можно решить, используя теорему Виета.

Решим более сложные уравнения.

Задача 3. Решите уравнение

Решение. ОДЗ: x1, x2.

Введем замену. Пусть 2x = t, t > 0, тогда в результате преобразований уравнение примет вид t2 + 2t – 13 – a = 0. (*)Найдем значения a, при которых хотя бы один корень уравнения (*) удовлетворяет условию t > 0.

https://pandia.ru/text/80/142/images/image098.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_23.gif" align="left" width="71" height="68 src=">где t0 - абсцисса вершины f(t) = t2 + 2t – 13 – a, D - дискриминант квадратного трехчлена f(t).

https://pandia.ru/text/80/142/images/image100.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_25.gif" align="left" width="360" height="32 src=">

https://pandia.ru/text/80/142/images/image102.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_27.gif" align="left" width="218" height="42 src=">

Ответ: если a > – 13, a  11, a  5, то если a – 13,

a = 11, a = 5, то корней нет.

Список используемой литературы.

1. Гузеев основания образовательной технологии.

2. Гузеев технология: от приема до философии.

М. «Директор школы»№4, 1996 г.

3. Гузеев и организационные формы обучения.

4. Гузеев и практика интегральной образовательной технологии.

М. «Народное образование», 2001 г.

5. Гузеев из форм урока – семинара.

Математика в школе №2, 1987 г. с.9 – 11.

6. Селевко образовательные технологии.

М. «Народное образование», 1998 г.

7. Епишева школьников учиться математике.

М. «Просвещение», 1990 г.

8. Иванова подготовить уроки – практикумы.

Математика в школе №6, 1990 г. с. 37 – 40.

9. Смирнова модель обучения математике.

Математика в школе №1, 1997 г. с. 32 – 36.

10. Тарасенко способы организации практической работы .

Математика в школе №1, 1993 г. с. 27 – 28.

11. Об одном из видов индивидуальной работы.

Математика в школе №2, 1994 г. с.63 – 64.

12. Хазанкин творческие способности школьников.

Математика в школе №2, 1989 г. с. 10.

13. Сканави. Издатель, 1997 г.

14. и др. Алгебра и начала анализа. Дидактические материалы для

15. Кривоногов задания по математике.

М. «Первое сентября», 2002 г.

16. Черкасов. Справочник для старшеклассников и

поступающих в вузы. «А С Т - пресс школа», 2002 г.

17. Жевняк для поступающих в вузы.

Минск И РФ «Обозрение», 1996 г.

18. Письменный Д. Готовимся к экзамену по математике. М. Рольф, 1999 г.

19. и др. Учимся решать уравнения и неравенства.

М. «Интеллект – Центр», 2003 г.

20. и др. Учебно – тренировочные материалы для подготовки к Е Г Э.

М. «Интеллект – центр», 2003 г. и 2004 г.

21 и др. Варианты КИМ. Центр тестирования МО РФ, 2002 г., 2003г.

22. Гольдберг уравнения. «Квант» №3, 1971 г.

23. Волович М. Как успешно обучать математике.

Математика, 1997 г. №3.

24 Окунев за урок, дети! М. Просвещение, 1988 г.

25. Якиманская – ориентированное обучение в школе.

26. Лийметс работа на уроке. М. Знание, 1975 г.