Стаття розкриває зміст ір раціональних виразівта перетворення з ними. Розглянемо саме поняття ірраціональних виразів, перетворення та характерні висловлювання.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Що таке ірраціональні вирази?
При знайомстві з коренем у школі ми вивчаємо поняття ірраціональних виразів. Такі висловлювання тісно пов'язані з корінням.
Визначення 1
Ірраціональні висловлювання- Це вирази, які мають корінь. Тобто це вирази, які мають радикали.
Грунтуючись на даному визначенні, ми маємо, що x - 1 , 8 3 · 3 6 - 1 2 · 3 , 7 - 4 · 3 · (2 + 3) , 4 · a 2 d 5: d 9 2 · a 3 5 - це все вирази ірраціонального типу.
При розгляді виразу x · x - 7 · x + 7 x + 3 2 · x - 8 3 отримуємо, що вираз є раціональним. До раціональних виразів відносять багаточлени та алгебраїчні дроби. Ірраціональні включають роботу з логарифмічними виразами або підкореними виразами.
Основні види перетворень ірраціональних виразів
При обчисленні таких виразів слід звернути увагу до ОДЗ. Часто вони вимагають додаткових перетворень як розкриття дужок, приведення подібних членів, угруповань тощо. Основа таких перетворень – події з числами. Перетворення ірраціональних виразів дотримуються суворого порядку.
Приклад 1
Перетворити вираз 9 + 3 3 - 2 + 4 · 3 3 + 1 - 2 · 3 3 .
Рішення
Необхідно виконати заміну числа 9 вираз, що містить корінь. Тоді отримуємо, що
81 + 3 3 - 2 + 4 · 3 3 + 1 - 2 · 3 3 = = 9 + 3 3 - 2 + 4 · 3 3 + 1 - 2 · 3 3
Отриманий вираз має подібні доданки, тому виконаємо приведення та угруповання. Отримаємо
9 + 3 3 - 2 + 4 · 3 3 + 1 - 2 · 3 3 = = 9 - 2 + 1 + 3 3 + 4 · 3 3 - 2 · 3 3 = = 8 + 3 · 3 3
Відповідь: 9 + 3 3 - 2 + 4 · 3 3 + 1 - 2 · 3 3 = 8 + 3 · 3 3
Приклад 2
Подати вираз x + 3 5 2 - 2 · x + 3 5 + 1 - 9 у вигляді добутку двох ірраціональних з використанням формул скороченого множення.
Рішення
x + 3 5 2 - 2 · x + 3 5 + 1 - 9 = = x + 3 5 - 1 2 - 9
Представляємо 9 у вигляді 3 2 , причому застосуємо формулу різниці квадратів:
x + 3 5 - 1 2 - 9 = x + 3 5 - 1 2 - 3 2 = = x + 3 5 - 1 - 3 · x + 3 5 - 1 + 3 = = x + 3 5 - 4 · x + 3 5 + 2
Результат тотожних перетворень призвів до твору двох раціональних виразів, які потрібно було знайти.
Відповідь:
x + 3 5 2 - 2 · x + 3 5 + 1 - 9 = = x + 3 5 - 4 · x + 3 5 + 2
Можна виконувати низку інших перетворень, які стосуються ірраціональних виразів.
Перетворення підкореного виразу
Важливо те, що вираз, що під знаком кореня, можна замінити на тотожно рівне йому. Це твердження дає можливість працювати з підкореним виразом. Наприклад, 1 + 6 можна замінити на 7 або 2 · a 5 4 - 6 на 2 · a 4 · a 4 - 6 . Вони тотожно рівні, тому заміна має сенс.
Коли немає а 1 , відмінне від a , де справедлива нерівність виду a n = a 1 n , тоді така рівність можлива лише за а = а 1 . Значення таких виразів дорівнюють будь-якими значеннями змінних.
Використання властивостей коріння
Властивості коренів застосовують для спрощення виразів. Щоб застосувати властивість a · b = a · b , де a ≥ 0 , b ≥ 0 тоді з ірраціонального вигляду 1 + 3 · 12 можна стати тотожно рівним 1 + 3 · 12 . Властивість. . . a n k n 2 n 1 = a n 1 · n 2 · , . . . , · n k , Де a ≥ 0 говорить про те, що x 2 + 4 4 3 можна записати у формі x 2 + 4 24 .
Є деякі нюанси при перетворенні підкорених виразів. Якщо є вираз, то - 7 - 81 4 = - 7 4 - 81 4 записати не можемо, так як формула a b n = a n b n служить тільки для невід'ємного і позитивного b . Якщо властивість застосувати правильно, тоді вийде вираз 7 4 81 4 .
Для правильного перетворення використовують перетворення ірраціональних виразів із використанням властивостей коренів.
Внесення множника під знак кореня
Визначення 3Внести під знак кореня- означає замінити вираз B · C n , а B і C є деякими числами або виразами, де n - натуральне число, яке більше 1, рівним виразом, яке має вигляд B n · C n або - B n · C n .
Якщо спростити вираз виду 2 x 3, то після внесення під корінь, отримуємо, що 2 3 x 3 . Такі перетворення можливі лише після детального вивчення правил внесення множника на знак кореня.
Винесення множника з-під знака кореня
Якщо є вираз виду B n · C n , тоді його приводять до виду B · C n , де є непарні n , які набувають вигляду B · C n з парними n , В і C є деякими числами та виразами.
Тобто, якщо брати ірраціональний вираз виду 2 3 x 3 , винести множник з-під кореня, тоді отримаємо вираз 2 x 3 . Або x + 1 2 · 7 дасть у результаті вираз виду x + 1 · 7, яке має ще один запис у вигляді x + 1 · 7.
Винесення множника з-під кореня необхідне спрощення висловлювання та її швидкого перетворення.
Перетворення дробів, що містять коріння
Ірраціональний вираз може бути як натуральним числом, і у вигляді дробу. Для перетворення дрібних виразів велику увагу звертають на його знаменник. Якщо взяти дріб виду (2 + 3) · x 4 x 2 + 5 3 , то чисельник набуде вигляду 5 · x 4 , а, використавши властивості коренів, отримаємо, що знаменник стане x 2 + 5 6 . Вихідний дріб можна буде записати у вигляді 5 · x 4 x 2 + 5 6 .
Необхідно звернути увагу, що необхідно змінювати знак лише чисельника чи лише знаменника. Отримаємо, що
X + 2 · x - 3 · x 2 + 7 4 = x + 2 · x - (- 3 · x 2 + 7 4) = x + 2 · x 3 · x 2 - 7 4
Скорочення дробу найчастіше використовується при спрощенні. Отримуємо, що
3 · x + 4 3 - 1 · x x + 4 3 - 1 3 скорочуємо на x + 4 3 - 1 . Отримаємо вираз 3 · x x + 4 3 - 1 2 .
Перед скороченням необхідно виконувати перетворення, які полегшують вираз і дають можливість розкласти на множники складний вираз. Найчастіше застосовують формули скороченого множення.
Якщо взяти дріб виду 2 · x - y x + y , необхідно вводити нові змінні u = x і v = x , тоді заданий вираз змінить вигляд і стане 2 · u 2 - v 2 u + v . Чисельник слід розкласти на багаточлени за формулою, тоді отримаємо, що
2 · u 2 - v 2 u + v = 2 · (u - v) · u + v u + v = 2 · u - v . Після виконання зворотної заміни прийдемо до виду 2 · x - y, яке дорівнює вихідному.
Допускається приведення до нового знаменника, тоді необхідно чисельник множити на додатковий множник. Якщо взяти дріб виду x 3 - 1 0,5 · x, тоді приведемо до знаменника x. для цього потрібно помножити чисельник і знаменник на вираз 2 · x , тоді отримуємо вираз x 3 - 1 0 , 5 · x = 2 · x · x 3 - 1 0 , 5 · x · 2 · x = 2 · x · x 3 - 1 x.
Скорочення дробів або приведення подібних необхідно лише на ОДЗ зазначеного дробу. При множенні чисельника та знаменника на ірраціональний вираз отримуємо, що ми позбавляємося ірраціональності у знаменнику.
Звільнення від ірраціональності у знаменнику
Коли вираз позбавляється кореня в знаменнику шляхом перетворення, це називається позбавленням ірраціональності. Розглянемо з прикладу дробу виду x 3 3 . Після позбавлення від ірраціональності отримуємо новий дріб виду 93 · x3.
Перехід від коріння до ступенів
Переходи від коренів до ступенів необхідні швидкого перетворення ірраціональних выражений. Якщо розглянути рівність a m n = a m n , то видно, що його використання можливе, коли a є позитивним числом, m цілим числом, а n – натуральним. Якщо розглядати вираз 5-23, то інакше маємо право записати його як 5-23. Ці вирази рівнозначні.
Коли під коренем є негативне число чи число зі змінними, тоді формула a m n = a m n який завжди застосовна. Якщо потрібно замінити таке коріння (-8) 3 5 і (- 16) 2 4 ступенями, тоді отримуємо, що - 8 3 5 і - 16 2 4 за формулою a m n = a m n не працюємо з негативними а. для того, щоб докладно розібрати тему підкорених виразів та їх спрощень, необхідно вивчати статтю про перехід від коріння до ступенів та назад. Слід пам'ятати у тому, що формула a m n = a m n застосовна задля всіх виразів такого виду. Звільнення від ірраціональності сприяє подальшому спрощенню висловлювання, його перетворення та вирішення.
Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter
Ірраціональні висловлювання та їх перетворення
Минулого разу ми згадали (або дізналися – кому як), що ж таке , навчилися видобувати таке коріння, розібрали по гвинтиках основні властивості коренів і вирішували не складні прикладиз корінням.
Цей урок буде продовженням попереднього і буде присвячений перетворенням різних виразів, що містять всілякі коріння. Такі вирази називаються ірраціональними. Тут з'являться і вирази з літерами, і додаткові умови, і звільнення від ірраціональності в дробах, і деякі просунуті прийоми в роботі з корінням. Ті прийоми, які розглядатимуться в даному уроці, стануть гарною базою для вирішення завдань ЄДІ (і не тільки) практично будь-якого рівня складності. Отже, давайте приступимо.
Насамперед я продублюю тут основні формули та властивості коренів. Щоб не скакати із теми в тему. Ось вони:
при
Формули ці треба обов'язково знати та вміти застосовувати. Причому обидві сторони – як зліва направо, і справа наліво. Саме на них і ґрунтується вирішення більшості завдань із корінням будь-якого ступеня складності. Почнемо поки що з найпростішого - з прямого застосування формул або їх комбінацій.
Просте застосування формул
У цій частині розглядатимуться прості та нешкідливі приклади – без літер, додаткових умов та інших хитрощів. Однак у них, зазвичай, є варіанти. І чим навороченіший приклад, тим більше таких варіантів. І у недосвідченого учня виникає Головна проблема- З чого починати? Відповідь тут проста – не знаєш, що потрібно - роби що можна. Аби ваші дії йшли у мирі та злагоді з правилами математики і не суперечили їм.) Наприклад, таке завдання:
Обчислити:
Навіть у такому простенькому прикладі можливі кілька шляхів відповіді.
Перший – просто перемножити коріння за першою властивістю та витягти корінь з результату:
Другий варіант такий: не чіпаємо, працюємо з . Виносимо множник з-під знаку кореня, а далі – за першою властивістю. Ось так:
Вирішувати можна як найбільше подобається. У кожному з варіантів відповідь виходить одна – вісімка. Мені, наприклад, простіше перемножити 4 і 128 і отримати 512, а з цього числа добре витягується кубічний корінь. Якщо хтось не пам'ятає, що 512 – це 8 у кубі, то не біда: можна записати 512 як 2 9 (перші 10 ступенів двійки, я сподіваюся, пам'ятаєте?) і за формулою кореня зі ступеня:
Інший приклад.
Обчислити: .
Якщо працювати за першою якістю (все загнати під один корінь), то вийде величезне число, з якого корінь потім витягувати - теж не цукор. Та й не факт, що він витягнеться рівно.) Тому тут корисно в числі винести множники з-під кореня. Причому винести максимум:
І тепер все налагодилося:
Залишилося вісімку та двійку записати під одним коренем (за першою властивістю) і – готова справа. :)
Додамо тепер трохи дробів.
Обчислити:
Приклад дуже примітивний, але й у ньому є варіанти. Можна за допомогою винесення множника перетворити чисельник і скоротити зі знаменником:
А можна відразу скористатися формулою поділу коріння:
Як бачимо, і так, і сяк – всяко правильно.) Якщо не спіткнутися на півдорозі і не помилитися. Хоча десь тут помилятися…
Розберемо тепер останній приклад з домашнього завданняминулого уроку:
Спростити:
Цілком немислимий набір коренів, та ще й вкладених. Як бути? Головне – не боятися! Тут ми насамперед помічаємо під корінням числа 2, 4 та 32 – ступеня двійки. Перше що потрібно зробити – привести всі числа до двійок: все-таки чим більше однакових чисел у прикладі і менше різних, тим простіше.) Почнемо окремо з першого множника:
Число можна спростити, скоротивши двійку під коренем з четвіркою у показнику кореня:
Тепер, згідно з коренем з твору:
.
У числі виносимо двійку за знак кореня:
А з виразом розправляємося за формулою кореня з кореня:
Отже, перший множник запишеться так:
Вкладене коріння зникло, числа стали меншими, що вже тішить. Ось тільки коріння різне, але поки що так і залишимо. Треба буде – перетворимо на однакові. Беремося за другий множник.)
Другий множник перетворюємо аналогічно, за формулою кореня з добутку та кореня з кореня. Де треба – скорочуємо показники за п'ятою формулою:
Вставляємо все у вихідний приклад і отримуємо:
Отримали твір цілої купи зовсім різних коренів. Непогано було б привести їх до одного показника, а там – видно буде. Що ж, це цілком можливо. Найбільший з показників коренів дорівнює 12, а решта – 2, 3, 4, 6 – дільники числа 12. Тому будемо наводити все коріння за п'ятою властивістю до одного показника – до 12:
Вважаємо та отримуємо:
Красивого числа не отримали, та й гаразд. Нас просили спроститивираз, а не порахувати. Спростили? Звичайно! А вид відповіді (ціле число чи ні) тут уже не відіграє жодної ролі.
Трохи складання/віднімання та формул скороченого множення
На жаль, загальних формул для додавання та віднімання коренівв математиці немає. Однак, у завданнях часто-густо зустрічаються ці дії з корінням. Тут необхідно розуміти, що будь-яке коріння – це точно такі ж математичні значки, як і літери в алгебрі.) І до коренів застосовні ті самі прийоми і правила, що і до літер – розкриття дужок, приведення подібних, формули скороченого множення і т.д. п.
Наприклад, кожному ясно, що . Так само однаковікоріння можна цілком спокійно між собою складати/віднімати:
Якщо коріння різні, то шукаємо спосіб зробити їх однаковими – внесенням/винесенням множника або ж за п'ятою властивістю. Якщо ну ніяк не спрощується, то, можливо, перетворення хитріші.
Дивимось перший приклад.
Визначити значення висловлювання: .
Усі три корені хоч і кубічні, але з різнихчисел. Чисто не витягуються і між собою складаються/віднімаються. Отже, застосування загальних формул тут не котить. Як бути? А винесемо множники в кожному корені. (Гірше в будь-якому випадку не буде.) Тим більше, що інших варіантів, власне, і немає:
Стало бути, .
Ось і все рішення. Тут ми від різних коренів перейшли до однакових за допомогою винесення множника з-під кореня. А потім просто привели подібні.) Вирішуємо далі.
Знайти значення виразу:
З корінням з сімнадцяти точно нічого не вдієш. Працюємо за першою властивістю – робимо з добутку двох коренів один корінь:
А тепер придивимося уважніше. Що у нас під великим кубічним коренем? Різниця ква. Ну, звичайно! Різниця квадратів:
Тепер залишилося лише витягти корінь: .
Обчислити:
Тут доведеться проявити математичну кмітливість.) Думаємо приблизно так: «Так, у прикладі витвір коріння. Під одним коренем різницю, а під іншим – сума. Дуже схоже на формулу різниці квадратів. Але… Коріння – різні! Перший квадратний, а другий – четвертого ступеня… Добре зробити їх однаковими. За п'ятою властивістю можна легко з квадратного кореня зробити корінь четвертого ступеня. Для цього досить підкорене вираження звести до квадрата.»
Якщо ви мислили приблизно так само, то ви - на півдорозі до успіху. Абсолютно вірно! Перетворимо перший множник на корінь четвертого ступеня. Ось так:
Тепер, нічого не вдієш, але доведеться згадати формулу квадрата різниці. Тільки у застосуванні до коріння. Ну і що? Чим коріння гірше за інші числа чи вирази?! Зводимо:
«Хм, ну звели і що? Хрін редьки не солодший. Стоп! А якщо винести четвірку під коренем? Тоді випливе те саме вираз, що й під другим коренем, тільки з мінусом, а саме цього ми й добиваємося!»
Правильно! Виносимо четвірку:
.
А тепер – справа техніки:
Ось так розплутуються складні приклади.) Тепер настав час потренуватися з дробами.
Обчислити:
Зрозуміло, що треба перетворювати чисельник. Як? За формулою квадрата суми, очевидно. У нас ще є варіанти хіба? :) Зводимо в квадрат, виносимо множники, скорочуємо показники (де треба):
ВО як! Отримали точно знаменник нашого дробу.) Значить, весь дріб, очевидно, дорівнює одиниці:
Ще приклад. Тільки тепер на іншу формулу скороченого множення.)
Обчислити:
Зрозуміло, що квадрат різниці треба застосовувати. Виписуємо знаменник окремо та – поїхали!
Виносимо множники з-під коріння:
Отже,
Тепер все погане чудово скорочується і виходить:
Що ж, піднімаємось на наступний рівень. :)
Літери та додаткові умови
Буквенні вирази з корінням – штука хитріша, ніж числові вирази, і є невичерпним джерелом прикрих і грубих помилок. Перекриємо це джерело.) Помилки випливають через те, що часто таких завданнях фігурують негативні числа і висловлювання. Вони або дано нам прямо в завданні, або сховані в літерах та додаткових умовах. А нам у процесі роботи з корінням постійно треба пам'ятати, що в корінні парного ступеняяк під самим коренем, так і в результаті вилучення кореня має бути невід'ємний вираз. Ключовою формулою задач цього пункту буде четверта формула:
З корінням непарного ступеня питань ніяких - там завжди все витягується з плюсом, що з мінусом. І мінус, якщо що, виноситься вперед. Будемо відразу розбиратися з корінням парнихстепеней.) Наприклад, таке коротеньке завдання.
Спростити: , якщо .
Здавалося б, просто. Вийде просто ікс.) Але навіщо тоді додаткова умова? У разі корисно прикинути на числах. Чисто для себе.) Якщо, то ікс - свідомо негативне число. Мінус три, наприклад. Або мінус сорок. Нехай. Чи можна мінус три звести в четвертий ступінь? Звичайно! Вийде 81. Чи можна з 81 витягти корінь четвертого ступеня? А чому ні? Можна, можливо! Вийде трійка. Тепер проаналізуємо весь наш ланцюжок:
Що ми бачимо? На вході було негативне число, але в виході – вже позитивне. Було мінус три, стало плюс три. Повертаємось до літер. Поза всякими сумнівами, по модулю це буде точно ікс, але тільки сам ікс у нас з мінусом (за умовою!), а результат вилучення (через арифметичний корінь!) має бути з плюсом. Як отримати плюс? Дуже просто! Для цього достатньо перед свідомо негативним числом поставити мінус.) І правильне рішеннявиглядає так:
До речі, якби ми скористалися формулою , то, згадавши визначення модуля, одразу отримали б правильну відповідь. Оскільки
|х| = -x при x<0.
Винести множник за знак кореня: , де .
Перший погляд – на підкорене вираз. Тут все ОК. За будь-якого розкладу воно буде невід'ємним. Починаємо отримувати. За формулою кореня з твору витягаємо корінь з кожного множника:
Звідки взялися модулі, пояснювати, думаю, вже не треба.) А тепер аналізуємо кожен із модулів.
Множник | a | так і залишаємо без змін: у нас немає жодної умови на буквуa. Ми не знаємо, позитивна вона чи негативна. Наступний модуль |b 2 | можна сміливо опустити: у будь-якому випадку виразb 2 невід'ємно. А ось щодо |з 3 | - Тут уже завдання.) Якщо, то й з 3 <0. Стало быть, модуль надо раскрыть з мінусом: | з 3 | = - з 3 . Разом вірне рішення буде таке:
А тепер – зворотне завдання. Не найпростіша, одразу попереджаю!
Внести множник під знак кореня: .
Якщо ви одразу запишете рішення ось так
то ви потрапили у пастку. Це неправильне рішення! У чому ж справа?
Давайте вдивимося у вираз під коренем. Під корінням четвертого ступеня, як ми знаємо, має бути невід'ємневираз. Інакше корінь сенсу немає.) Тому це, своєю чергою, означає, що й, отже, також непозитивно: .
І помилка тут полягає в тому, що ми вносимо під корінь непозитивнечисло: четвертий ступінь перетворює його на невід'ємнеі виходить невірний результат - ліворуч свідомий мінус, а справа вже плюс. А вносити під корінь парноїступеня ми маємо право тільки невід'ємнічисла чи вирази. А мінус, якщо є, залишати перед коренем.) Як нам виділити невід'ємний множник у числізнаючи, що воно саме стопудово негативне? Та так само! Поставити мінус.) А щоб нічого не змінилося, компенсувати його ще одним мінусом. Ось так:
І тепер уже невід'ємнечисло (-b) спокійно вносимо під корінь за всіма правилами:
Цей приклад наочно показує, що, на відміну інших розділів математики, у коренях правильна відповідь які завжди випливає автоматично з формул. Необхідно подумати і особисто прийняти правильне рішення.) Особливо слід бути уважнішими зі знаками в ірраціональних рівняннях та нерівностях.
Розбираємося з наступним важливим прийомом у роботі з корінням – рятуванням від ірраціональності.
Позбавлення ірраціональності в дробах
Якщо у виразі є коріння, то, нагадаю, такий вираз називається виразом з ірраціональністю. У деяких випадках буває корисно цієї самої ірраціональності (тобто коренів) позбутися. Як можна ліквідувати коріння? Корінь у нас зникає при зведенні в ступінь. З показником або рівним показником кореня, або кратним йому. Але, якщо ми зведемо корінь у ступінь (тобто помножимо корінь сам на себе потрібне число разів), то вираз від цього зміниться. Негаразд.) Однак у математиці бувають теми, де множення цілком безболісно. У дробах, наприклад. Згідно з основною властивістю дробу, якщо чисельник і знаменник помножити (розділити) на те саме число, то значення дробу не зміниться.
Припустимо, нам дано такий дріб:
Чи можна позбутися кореня у знаменнику? Можна, можливо! Для цього корінь треба звести у куб. Чого нам не вистачає у знаменнику для повного куба? Нам бракує множника, тобто.. Ось і домножуємо чисельник і знаменник дробу на
Корінь у знаменнику зник. Але… він з'явився у чисельнику. Нічого не вдієш, така доля.) Нам це вже не важливо: нас просили знаменник від коріння звільнити. Звільнили? Безумовно.)
До речі, ті, хто вже в ладах із тригонометрією, можливо, звертали увагу на те, що в деяких підручниках та таблицях, наприклад, позначають по-різному: десь, а десь. Питання – що правильно? Відповідь: все правильно!) Якщо здогадатися, що– це просто результат звільнення від ірраціональності у знаменнику дробу. :)
Навіщо нам звільнятися від ірраціональності у дробах? Яка різниця – у чисельнику корінь сидить чи у знаменнику? Калькулятор все одно все порахує.) Ну, для тих, хто не розлучається з калькулятором, різниці дійсно практично ніякої ... Але, навіть рахуючи на калькуляторі, можна звернути увагу на те, що ділитина цілечисло завжди зручніше і швидше, ніж на ірраціональне. А вже про поділ у стовпчик взагалі замовчу.)
Наступний приклад лише підтвердить мої слова.
Як тут ліквідувати квадратний корінь у знаменнику? Якщо чисельник і знаменник помножити на вираз , то знаменнику вийде квадрат суми. Сума квадратів першого і другого чисел дадуть нам просто числа без будь-яких коренів, що дуже тішить. Однак... спливе подвоєний твірпершого числа на друге, де корінь із трьох все одно залишиться. Чи не канає. Як бути? Згадати іншу чудову формулу скороченого множення! Де ніяких подвоєних творів, а лише квадрати:
Такий вираз, який при домноженні якоїсь суми (або різниці) виводить на різницю квадратівще називають сполученим виразом. У нашому прикладі сполученим виразом слугуватиме різниця. Ось і примножуємо на цю різницю чисельник і знаменник:
Що тут можна сказати? В результаті наших маніпуляцій не те що корінь із знаменника зник – взагалі дріб зник! :) Навіть з калькулятором відібрати корінь із трьох від трійки простіше, ніж вважати дріб з коренем у знаменнику. Ще приклад.
Звільнитися від ірраціональності у знаменнику дробу:
Як тут викручуватись? Формули скороченого множення з квадратами відразу не котять - не вийде повної ліквідації коренів через те, що корінь у нас цього разу не квадратний, а кубічний. Потрібно, щоб корінь якось звівся в куб. Отже, застосовувати треба якусь із формул із кубами. Який? Давайте подумаємо. У знаменнику - сума. Як нам досягти зведення кореня в куб? Примножити на неповний квадрат різниці! Значить, будемо застосовувати формулу суми кубів. Ось цю:
В якості aу нас трійка, а як b- Корінь кубічний з п'яти:
І знову дріб зник.) Такі ситуації, коли при звільненні від ірраціональності у знаменнику дробу у нас разом із корінням повністю зникає сам дріб, зустрічаються дуже часто. Як вам ось такий приклад!
Обчислити:
Спробуйте просто скласти ці три дроби! Без помилок! :) Один спільний знаменник чого вартий. А що, якщо спробувати звільнитися від ірраціональності у знаменнику кожного дробу? Що ж, пробуємо:
Ух ти як цікаво! Усі дроби зникли! Цілком. І тепер приклад вирішується на два рахунки:
Просто та елегантно. І без довгих та стомливих обчислень. :)
Саме тому операцію звільнення від ірраціональності у дробах треба вміти робити. У подібних наворочених прикладах тільки вона і рятує, так.) Зрозуміло, уважність ніхто не скасовував. Бувають завдання, де просять позбавитися ірраціональності в чисельник. Ці завдання нічим від розглянутих не відрізняються, тільки від коріння очищається чисельник.)
Більш складні приклади
Залишилося розглянути деякі спеціальні прийоми у роботі з корінням і потренуватися розплутувати не найпростіші приклади. І тоді отриманої інформації вже буде достатньо для вирішення завдань із корінням будь-якого рівня складності. Отже – вперед.) Для початку розберемося, що робити з вкладеним корінням, коли формула кореня з кореня не працює. Наприклад, ось такий приклад.
Обчислити:
Корінь під коренем… До того ж під корінням сума чи різниця. Отже, формула кореня з кореня (з перемноженням показників) тут не діє. Значить, треба щось робити з підкореними виразами: у нас просто немає інших варіантів У таких прикладах найчастіше під великим коренем зашифровано повний квадратякоїсь суми. Або різниці. А корінь із квадрата вже чудово витягується! І тепер наше завдання – його розшифрувати.) Таке розшифрування красиво робиться через систему рівнянь. Зараз все самі побачите.)
Отже, під першим корінням у нас такий вираз:
А раптом не вгадали? Перевіримо! Зводимо до квадрата за формулою квадрата суми:
Але… Звідки я взяв цей вислів? З неба?
Ні.) Ми його трохи нижче матимемо чесно. Просто за цим виразом я показую, як саме упорядники завдань шифрують такі квадрати. :) Що таке 54? Це сума квадратів першого та другого чисел. До того ж, зверніть увагу, вже без коріння! А корінь залишається в подвоєному творі, яке в нашому випадку рівне . Тому розплутування таких прикладів починається з пошуку подвоєного твору. Якщо розплутувати звичайним підбором. І, до речі, про знаки. Тут все просто. Якщо перед подвоєним плюс, то квадрат суми. Якщо мінус, то різниці.) У нас плюс – значить, квадрат суми.) А тепер – обіцяний аналітичний спосіб розшифрування. Через систему.)
Отже, у нас під корінням явно тусується вираз (a+b) 2, і наше завдання – знайти aі b. У нашому випадку сума квадратів дає 54. Ось і пишемо:
Тепер подвоєний твір. Воно у нас. Так і записуємо:
Отримали таку систему:
Вирішуємо простим способом підстановки. Виражаємо з другого рівняння, наприклад, і підставляємо перше:
Розв'яжемо перше рівняння:
Отримали біквадратнерівняння щодоa . Вважаємо дискримінант:
Значить,
Набули аж чотири можливі значенняa. Не лякаємось. Зараз ми все зайве відсіємо.) Якщо ми зараз для кожного із чотирьох знайдених значень порахуємо відповідні значення, то отримаємо чотири рішення нашої системи. Ось вони:
І тут питання – а яке рішення нам підходить? Давайте подумаємо. Негативні рішення можна відразу відкинути: при зведенні в квадрат мінуси «згорять», і все підкорене вираження в цілому не зміниться. Залишаються перші два варіанти. Вибрати їх можна цілком довільно: від перестановки доданків сума все одно не змінюється.) Нехай, наприклад, , а .
Разом отримали під коренем квадрат ось такої суми:
Все чітко.)
Я не дарма так детально описую перебіг рішення. Щоб було зрозуміло, як відбувається розшифрування. Але є одна проблемка. Аналітичний спосіб розшифровки хоч і надійний, але дуже довгий і громіздкий: доводиться вирішувати біквадратне рівняння, отримувати чотири рішення системи і потім ще думати, які з них вибрати... Клопітно? Згоден, клопітно. Цей спосіб безвідмовно працює у більшості подібних прикладів. Однак дуже часто можна здорово скоротити собі роботу і знайти обидва числа творчо. Підбором.) Так-так! Зараз, на прикладі другого доданку (другого кореня), я покажу більш легкий та швидкий спосіб виділення повного квадрата під коренем.
Отже, тепер у нас такий корінь: 
.
Розмірковуємо так: «Під корінням – швидше за все, зашифрований повний квадрат. Раз перед подвоєним мінус – значить, квадрат різниці. Сума квадратів першого та другого чисел дає нам число 54. Але які це квадрати? 1 та 53? 49 та 5 ? Дуже багато варіантів ... Ні, краще почати розплутувати з подвоєного твору. Нашіможна розписати як. Раз твір подвоєне, то двійку відразу відкидаємо. Тоді кандидатами на роль a і b залишаються 7 і . А раптом, це 14 і/2 ? Не виключено. Але починаємо завжди з простого!»Отже, нехай, а. Перевіримо їх на суму квадратів:
Вийшло! Отже, наш підкорений вираз – це насправді квадрат різниці:
Ось такий спосіб-лайт, щоб не зв'язуватися з системою. Не завжди працює, але у багатьох таких прикладах його цілком достатньо. Отже, під корінням – повні квадрати. Залишилося тільки правильно витягти коріння, та дорахувати приклад:
А тепер розберемо ще більш нестандартне завдання на корені.)
Доведіть, що число A- ціле, якщо .
Прямо нічого не витягується, коріння вкладене, та ще й різних ступенів... Кошмар! Проте, завдання має сенс.) Отже, ключ до його вирішення є.) А ключ тут такий. Розглянемо нашу рівність
як рівняння щодо A. Так Так! Добре було б позбутися коріння. Коріння у нас кубічні, тому зведемо обидві частини рівності в куб. За формулою куба суми:
Куби та коріння кубічні один одного компенсують, а під кожним великим коренем забираємо одну дужку у квадрата і згортаємо твір різниці та суми у різниця квадратів:
Окремо порахуємо різницю квадратів під корінням:
Властивості коренів лежать в основі двох наступних перетворень, які називаються внесенням під знак кореня та винесенням з-під знака кореня, до розгляду яких ми переходимо.
Внесення множника під знак кореня
Внесення множника під знак має на увазі заміну виразу , де B і C - деякі числа або вирази, а n - натуральне число, більше одиниці, тотожно рівним виразом, що має вигляд або .
Наприклад, ірраціональний вираз після внесення множника 2 під знак кореня набуває вигляду .
Теоретичні основи цього перетворення, правила його проведення, а також рішення різноманітних характерних прикладів дано у статті внесення множника під знак кореня.
Винесення множника з-під знака кореня
Перетворенням, у сенсі зворотним внесення множника під знак кореня, є винесення множника з-під знака кореня. Воно полягає у поданні кореня у вигляді твору при непарних n або у вигляді твору при парних n де B і C - деякі числа або вирази.
За прикладом повернемося до попереднього пункту: ірраціональний вираз після винесення множника з-під знака кореня набуває вигляду. Інший приклад: винесення множника з-під знака кореня у виразі дає твір, який можна переписати як .
На чому базується це перетворення і за якими правилами воно проводиться, розберемо в окремій статті винесення множника з-під знака кореня. Там же наведемо рішення прикладів та перерахуємо способи приведення підкореного виразу до виду, зручного для винесення множника.
Перетворення дробів, що містять коріння
Ірраціональні вирази можуть містити дроби, в чисельнику і знаменнику яких є коріння. З такими дробами можна проводити будь-які основні тотожних перетворень дробів.
По-перше, ніщо не заважає працювати з виразами в чисельнику та знаменнику. Як приклад розглянемо дріб. Ірраціональний вираз у чисельнику, очевидно, тотожно дорівнює, а, звернувшись до властивостей коренів, вираз у знаменнику можна замінити коренем. В результаті вихідний дріб перетворюється на вигляд.
По-друге, можна змінити знак перед дробом, змінивши знак чисельника чи знаменника. Наприклад, мають місце такі перетворення ірраціонального виразу: 
.
По-третє, іноді можна і доцільно провести скорочення дробу. Наприклад, як відмовити собі в задоволенні скоротити дріб 
на ірраціональний вираз, в результаті отримуємо 
.
Зрозуміло, що в багатьох випадках, перш ніж виконати скорочення дробу, вирази в її чисельнику і знаменнику доводиться розкладати на множники, чого в простих випадках дозволяють досягти формули скороченого множення. А іноді скоротити дріб допомагає заміна змінної, що дозволяє від вихідного дробу з ірраціональністю перейти до раціонального дробу, працювати з яким комфортніше та звичніше.
Наприклад візьмемо вираз. Введемо нові змінні і, у цих змінних вихідний вираз має вигляд. Виконавши у чисельнику
Дотримання Вашої конфіденційності є важливим для нас. З цієї причини ми розробили Політику конфіденційності, яка описує, як ми використовуємо та зберігаємо Вашу інформацію. Будь ласка, ознайомтеся з нашими правилами дотримання конфіденційності та повідомте нам, якщо у вас виникнуть будь-які питання.
Збір та використання персональної інформації
Під персональної інформацією розуміються дані, які можна використовувати для ідентифікації певного особи чи зв'язку з ним.
Від вас може бути запрошено надання вашої персональної інформації у будь-який момент, коли ви зв'язуєтесь з нами.
Нижче наведено приклади типів персональної інформації, яку ми можемо збирати, і як ми можемо використовувати таку інформацію.
Яку персональну інформацію ми збираємо:
- Коли ви залишаєте заявку на сайті, ми можемо збирати різну інформацію, включаючи ваше ім'я, номер телефону, електронну адресу і т.д.
Як ми використовуємо вашу персональну інформацію:
- Персональна інформація, що збирається нами, дозволяє нам зв'язуватися з вами і повідомляти про унікальні пропозиції, акції та інші заходи та найближчі події.
- Час від часу ми можемо використовувати вашу персональну інформацію для надсилання важливих повідомлень та повідомлень.
- Ми також можемо використовувати персональну інформацію для внутрішніх цілей, таких як проведення аудиту, аналізу даних та різних досліджень з метою покращення послуг, що надаються нами, та надання Вам рекомендацій щодо наших послуг.
- Якщо ви берете участь у розіграші призів, конкурсі або подібному стимулювальному заході, ми можемо використовувати інформацію, що надається, для управління такими програмами.
Розкриття інформації третім особам
Ми не розкриваємо отриману від Вас інформацію третім особам.
Винятки:
- Якщо необхідно - відповідно до закону, судовим порядком, у судовому розгляді, та/або на підставі публічних запитів або запитів від державних органів на території РФ - розкрити вашу персональну інформацію. Ми також можемо розкривати інформацію про вас, якщо ми визначимо, що таке розкриття необхідно чи доречно з метою безпеки, підтримання правопорядку, або інших суспільно важливих випадків.
- У разі реорганізації, злиття або продажу ми можемо передати персональну інформацію, що збирається нами, відповідній третій особі – правонаступнику.
Захист персональної інформації
Ми вживаємо запобіжних заходів - включаючи адміністративні, технічні та фізичні - для захисту вашої персональної інформації від втрати, крадіжки та недобросовісного використання, а також від несанкціонованого доступу, розкриття, зміни та знищення.
Дотримання вашої конфіденційності на рівні компанії
Для того, щоб переконатися, що ваша персональна інформація знаходиться в безпеці, ми доводимо норми дотримання конфіденційності та безпеки до наших співробітників і суворо стежимо за дотриманням заходів дотримання конфіденційності.
Вирази, що містять знак радикала (корінь), називаються ірраціональними.
Арифметичним коренем натурального ступеня $n$ з невід'ємного числа а називається деяке невід'ємне число, при зведенні якого в $n$ виходить число $а$.
$(√^n(a))^n=a$
У записі $√^n(a)$, «а» називається підкореним числом, $n$ - показник кореня або радикала.
Властивості коренів $n$-ого ступеня при $а≥0$ і $b≥0$:
1. Корінь твору дорівнює добутку коріння
$√^n(a∙b)=√^n(a)∙√^n(b)$
Обчислити $√^5(5)∙√^5(625)$
Корінь твору дорівнює твору коренів і навпаки: добуток коріння з однаковим показником кореня дорівнює кореню з твору підкорених виразів
$√^n(a)∙√^n(b)=√^n(a∙b)$
$√^5{5}∙√^5{625}=√^5{5∙625}=√^5{5∙5^4}=√^5{5^5}=5$
2. Корінь із дробу – це окремо корінь із чисельника, окремо із знаменника
$√^n((a)/(b))=(√^n(a))/(√^n(b))$, при $b≠0$
3. При зведенні кореня у ступінь, у цей ступінь зводиться підкорене вираз
$(√^n(a))^k=√^n(a^k)$
4. Якщо $а≥0$ і $n,k$ - натуральні числа, більші за $1$, то справедлива рівність.
$√^n(√^k(a))=√^(n∙k)a$
5. Якщо показники кореня та підкореного виразу помножити або розділити на те саме натуральне число, то значення кореня не зміниться.
$√^(n∙m)a^(k∙m)=√^n(a^k)$
6. Корінь непарного ступеня можна отримувати з позитивних і негативних чисел, а корінь парного ступеня – лише з позитивних.
7. Будь-який корінь можна подати у вигляді ступеня з дробовим (раціональним) показником.
$√^n(a^k)=a^((k)/(n))$
Знайдіть значення виразу $(√(9∙√^11(с)))/(√^11(2048∙√с))$ при $с>0$
Корінь твору дорівнює добутку коріння
$(√(9∙√^11(с)))/(√^11(2048∙√с))=(√9∙√(√^11(с)))/(√^11(2048)∙ √^11(√с))$
Коріння з чисел ми можемо отримати відразу
$(√9∙√(√^11(с)))/(√^11(2048)∙√^11(√с))=(3∙√(√^11(с)))//2∙ √^11(√с))$
$√^n(√^k(a))=√^(n∙k)a$
$(3∙√(√^11(с)))/(2∙√^11(√с))=(3∙√^22(с))/(2∙√^22(с))$
Коріння $22$ ступеня з $с$ ми скорочуємо і отримуємо $(3)/(2)=1,5$
Відповідь: $1,5$
Якщо у радикала з парним показником ступеня ми знаємо знак підкореного висловлювання, то, при вилученні кореня виходить модуль підкореного виразу.
Знайдіть значення виразу $√((с-7)^2)+√((с-9)^2)$ за $7< c < 9$
Якщо над коренем не стоїть показник, це означає, що ми працюємо з квадратним коренем. Його показник дорівнює двом, тобто. парний. Якщо у радикала з парним показником ступеня ми знаємо знак підкореного висловлювання, то, при вилученні кореня виходить модуль підкореного виразу.
$√((с-7)^2)+√((с-9)^2)=|c-7|+|c-9|$
Визначимо знак виразу, що стоїть під знаком модуля, виходячи з умови $7< c < 9$
Для перевірки візьмемо будь-яке число із заданого проміжку, наприклад, $8$
Перевіримо знак кожного модуля
$8-9<0$, при раскрытии модуля пользуемся правилом: модуль положительного числа равен самому себе, отрицательного числа - равен противоположному значению. Так как у второго модуля знак отрицательный, при раскрытии меняем знак перед модулем на противоположный.
$|c-7|+|c-9|=(с-7)-(с-9)=с-7-с+9=2$
Властивості ступенів з раціональним показником:
1. При множенні ступенів з однаковими основами основа залишається незмінною, а показники складаються.
$a^n∙a^m=a^(n+m)$
2. При зведенні ступеня в ступінь основа залишається незмінною, а показники перемножуються
$(a^n)^m=a^(n∙m)$
3. При зведенні у ступінь твору у цей ступінь зводиться кожен множник
$(a∙b)^n=a^n∙b^n$
4. При зведенні в ступінь дробу в цей ступінь зводиться чисельник та знаменник